Álgebra simbólica con wxMaxima

Si bien ya hablé de este programa en otro lugar nunca está de más insistir en sus bondades, especialmente considerando cómo ha evolucionado esta magnífica aplicación.

wxMaxima es una más que amena y bien diseñada interfaz gráfica para Maxima (uno de los mejores, si no el mejor, sistemas CAS disponible en el mundo FOSS) escrita en wxWidgets,

Como puede verse en la captura de pantalla, el programa no solo permite realizar cálculos simbólicos como desarrollo de funciones trigonométricas, derivadas e integrales… también permite construir «cuadernos» con texto, imágenes y figuras que ilustren nuestros cálculos.

Las opciones ofrecidas por el programa ciertamente no se limitan a la veintena de botones que tenemos a la izquierda del mismo: los menús ofrecen muchísimas cosas más. Calculo de sistemas de ecuaciones, álgebra matricial (polinomio característico, determinantes, inversión, valores y vectores propios…), cambios de variables, transformaciones de Laplace, cálculo de límites… en fin, que hay para entretenerse.

Seleccionando cualquier salida podemos hacer Máxima → Mostrar formato TeX, que nos dará el resultado escrito listo para copiar y pegar en nuestro editor LaTeX preferido.

Eso sí, si tiene hijos en edad escolar trate de evitar que se enteren que este programa puede calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo en un abrir y cerrar de ojos…

Kalzium: mucho más que una tabla periódica

Y cuando digo mucho más me refiero a mucho más: Kalzium, parte del proyecto KDEdu (KDE Education) no solo nos muestra todo lo que necesitamos saber sobre los elementos químicos y más, también nos permite realizar cálculos y dibujar moléculas, entre otras cosas.

Pero comencemos presentando la aplicación

Ya en la ventana principal vemos un gran número de opciones, no solo de visualización: además de permitirnos elegir rápidamente como presentar los elementos también nos ofrece una simple herramienta para calcular rápidamente masas moleculares, por ejemplo.

Con un clic sobre un elemento, podemos obtener una enorme cantidad de datos sobre el mismo

Cada una de las entradas en azul es, por supuesto, un enlace a wikipedia que explica de qué se trata esa entrada…

Seleccionando de la barra de herramientas principal la opción «Realizar cálculos» nos encontramos con muchas calculadoras químicas a nuestra disposición, por ejemplo, una que nos permitirá realizar rápidamente nuestros ejercicios de estequiometría

Si tenemos instalado Avogadro, Kalzium nos permitirá también dibujar moléculas en 3 dimensiones simplemente seleccionando el elemento y posicionándolo en el espacio: para crear una ligadura simplemente hacemos clic en el primer elemento y sin soltar el botón del ratón nos dirigimos al segundo. Si nos hemos olvidado de seleccionar del menú el orden de la ligadura, un nuevo clic sobre la misma la convertirá en doble mientras que un clic derecho la quitará

Por supuesto, un clic derecho sobre un átomo también lo borrará. Y a no preocuparse si la molécula no le está quedando muy «realista»: un clic en el botón  «Optimizar» hará que las distancias y los ángulos se acomoden automáticamente.

Cambiando de pestaña a la izquierda, podremos medir la distancia entre átomos o bien ángulos, podremos rotar la molécula, hacer «zoom» (rueda del ratón)…

Una herramienta sumamente útil, tanto para estudiantes como para docentes.

PhyxCalc: calculadora con manejo de unidades

El proyecto Qalculate! hace mucho que parece «huérfano», por lo que se agradece una nueva aplicación libre que permita realizar cálculos que respeten unidades. PhyxCalc es una bestia completamente diferente de Qalculate!, pero no por eso menos útil: ¡más bien al contrario!

Es posible trabajar con unidades, variables, constantes y operar con varias funciones predefinidas como así también definir otras nuevas. El programa es realmente sencillo de utilizar, su interfaz sumamente configurable y la ayuda del mismo resulta útil (algo que se agradece).

Está en sus primeras faces de desarrollo, pero muestra ya un enorme potencial. Existe un repositorio para fedora, Mandriva, openSUSE y ubuntu.

Sobre las imprevisibles consecuencias de la investigación científica

Cuando un grupo de investigación científica busca fondos para llevar adelante su trabajo siempre se encuentra con el problema de que quien dará el dinero nada sabe, ni se preocupa por saber, de lo que los científicos hacen. Suele hablarse, sobre todo al momento de rechazar un proyecto, de «incentivar las tecnologías de alto impacto social» y demás cosas sin sentido. ¿Porqué sin sentido, se preguntará el lector? Bien, la historia, sumamente resumida, que comentaré en esta entrada es una demostración más que clara de que nunca se puede decir de antemano si una investigación científica tendrá «alto impacto social» o no.

Todo comienza con un tema tan abstracto como lo pueda ser algo del nombre «radiación de cuerpo negro» y con un personaje llamado Max Planck que al estudiar un tema absolutamente teórico y alejado de la realidad dio el primer empujón a la revolución tecnológica del Siglo XX que me permite a mi escribir este artículo y a ti lector leerlo sin recurrir al papel y la tinta.

Un tema que interesó a muchos físicos teóricos a fines del Siglo XIX, principios del XX era la emisión de radiación electromagnética por cuerpos calientes. Ciertamente la invención de las lámparas incandescentes por parte de Edison tuvo algo que ver en este interés, pero pronto la investigación se derivó a modelos teóricos bastante alejados de la realidad como ser el «cuerpo negro» que nombré más arriba.

A grandes líneas, un cuerpo negro es un objeto que absorbe toda la radiación que le llega, no refleja nada y emite independientemente del material del cual está constituido en forma tal que solo su temperatura es importante.

Evidentemente tales objetos no existen en la naturaleza, solo son una aproximación: un objeto extremadamente caliente que brilla con luz propia en forma tan intensa que todas las otras radiaciones son despreciables respecto a lo que el objeto emite podrá considerarse como algo que se parece a un cuerpo negro.

El problema estaba en que cuando se querían aplicar las teorías científicas conocidas en la época (básicamente, el electromagnetísmo de Maxwell) al problema se obtenían resultados estrepitosamente absurdos como que el cuerpo contenía una cantidad infinita energía: la así llamada catástrofe ultravioleta.

Max Planck se interesó al estudio teórico de este tema a principios del Siglo XX y luego de trabajar por mucho tiempo logró construir una fórmula, basada en una suerte de interpolación de las fallidas teorías existentes, que explicaba los resultados experimentales que se obtenían con cuerpos que podían ser considerados como buenas aproximaciones a un cuerpo negro.

El punto estaba en justificar el porqué esa fórmula funcionaba… sobre todo considerando cómo aparecía considerada la energía en la misma.

Luego de trabajar mucho tiempo en el tema y de descartar una posibilidad tras otra, Planck se dio cuenta de que la única forma de explicar los resultados experimentales era considerar que la radiación emitida por el material no era un valor que pudiera variar en forma continua sino que tenía que salir en «paquetes» de valores bien definidos, valores que dependían solamente de la frecuencia (su color) de la luz emitida.

Este concepto de la energía como un número que solo podía tener ciertos valores bien definidos, donde los valores intermedios estaban prohibidos era completamente contrario a todo lo conocido hasta el momento… pero funcionaban a la perfección.

Estos «paquetes» de energía inspiraron a Albert Einstein a decir que toda la radiación electromagnética, no solo la emitida por los cuerpos estaba en realidad formada por partículas y no por ondas como se creyó hasta ese momento, concepto que le permitió explicar por primera vez en forma razonable un fenómeno sumamente curioso llamado «efecto fotoeléctrico»…

El hecho de que la luz, que siempre fue considerada una onda pudiera también comportarse como si fuera una partícula inspiró a su vez a Louis de Broglie para desarrollar la hipótesis complementaria: que partículas como los electrones podrían comportarse, bajo ciertas condiciones, como una onda: la «dualidad onda partícula» nació entonces como concepto, inspirando a varios científicos (Bohr, Heisenberg, Shrödinger…) a construir lo que luego se llamó «mecánica cuántica», teoría que explica no solo los cuerpos negros y el efecto fotoeléctrico, sino también el funcionamiento de los semiconductores, diodos, el fenómeno de magnetoresistencia gigante que da vida a los discos rígidos… en fin, a toda la tecnología que utilizamos a diario.

Y todo comenzó estudiando en forma teórica un interesante ente abstracto llamado «cuerpo negro»…

Cada tanto me pregunto que habría sucedido si los criterios que se utilizan hoy día para evaluar proyectos científicos hubieran sido aplicados al proyecto de Planck… muy probablemente estaríamos escribiendo en máquinas de escribir mecánicas, sin computadoras, sin satélites, sin tantas cosas.

La paradoja de Russell

Este artículo es sobre matemáticas. Más precisamente sobre teoría de conjuntos… pero a no preocuparse que no encontrarán cálculos o diagramas de Ben aquí: el tema, más que interesante, puede ser comprendido por cualquier persona.

La teoría de conjuntos tal y como fue presentada por Cantor y Frege tiene un serio problema de consistencia, el cual fue descubierto por Bertrand Russell en 1901.

La paradoja de Russell parte de la observación simple y aparentemente inocente de que algunos conjuntos se incluyen a si mismos como uno de sus elementos. ¿Suena esto extraño?, consideremos entonces el siguiente ejemplo: «el conjunto de todas las cucharas no es otra cuchara, pero el conjunto de todas las cosas que no son una cuchara es ciertamente una de las cosas que no es una cuchara».

«Bueno», dirá el lector, «otra excentricidad de las matemáticas, supongo». El problema está en que esta excentricidad lleva a un terrible problema de consistencia.

Existen muchos ejemplos que demuestran el problema; uno famoso es el del bibliotecario que clasifica sus libros en dos estantes, separándolos en aquellos que hacen referencia de si mismos (por ejemplo, a través de referencias cruzadas) y aquellos que no. Cuando el bibliotecario quiere crear un catálogo de los  libros que no hacen referencia a sí mismos se encuentra con un problema: ¿en cuál estante debe poner el catálogo? Porque si lo pone en el estante de los libros que no hacen referencia a sí mismos debería incluir en el mismo una línea que contabilice el propio catálogo… con lo cual tendría que pasarlo al otro estante ya que contendría una referencia a sí mismo… pero si lo pasa al otro estante la línea estaría equivocada por lo que tendría que eliminarla… pero si elimina la línea el catálogo deja de pertenecer al segundo estante por lo que tendrá que pasarlo al primero y agregar por lo tanto la línea… pero…

Otro ejemplo clásico es el del barbero del emir:

Un día el emir se dio cuenta de la falta de barberos en el emirato, y ordenó que los barberos sólo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo por sí mismas. Cierto día el emir llamó a As-Samet para que lo afeitara y él le contó sus angustias:

—En mi pueblo soy el único barbero. No puedo afeitar al barbero de mi pueblo, ¡que soy yo!, ya que si lo hago, entonces puedo afeitarme por mí mismo, por lo tanto ¡no debería afeitarme! Pero, si por el contrario no me afeito, entonces algún barbero debería afeitarme, ¡pero yo soy el único barbero de allí!

Russell trabajó mucho tiempo con Whitehead para resolver este problema, el cual destruía completamente la estabilidad de la teoría mostrando una inconsistencia imposible de resolver. Sí, algo «tan simple» como esto hizo tambalear toda la estructura de la teoría de conjuntos…

Finalmente el problema fue resuelto (o más bien oculto…) excluyendo de la teoría aquellos conjuntos que hacen referencia a sí mismos: así reducida, la estructura teórica funciona a la perfección y es por esto que se sigue torturando enseñando a los alumnos aún hoy día y por siempre a través de la teoría de conjuntos… si bien ningún profesor que conozca explica este «simple» problema a sus alumnos.

Han existido otros terremotos en la estructura de las matemáticas durante el Siglo XX, por ejemplo el de Kurt Gödel con sus dos teoremas de la incompletitud… pero ese es ya otro tema. Por el momento, podemos darnos por satisfechos y comprender finalmente la siguiente magnífica viñeta de XKCD: