La paradoja de Russell

Este artículo es sobre matemáticas. Más precisamente sobre teoría de conjuntos… pero a no preocuparse que no encontrarán cálculos o diagramas de Ben aquí: el tema, más que interesante, puede ser comprendido por cualquier persona.

La teoría de conjuntos tal y como fue presentada por Cantor y Frege tiene un serio problema de consistencia, el cual fue descubierto por Bertrand Russell en 1901.

La paradoja de Russell parte de la observación simple y aparentemente inocente de que algunos conjuntos se incluyen a si mismos como uno de sus elementos. ¿Suena esto extraño?, consideremos entonces el siguiente ejemplo: «el conjunto de todas las cucharas no es otra cuchara, pero el conjunto de todas las cosas que no son una cuchara es ciertamente una de las cosas que no es una cuchara».

«Bueno», dirá el lector, «otra excentricidad de las matemáticas, supongo». El problema está en que esta excentricidad lleva a un terrible problema de consistencia.

Existen muchos ejemplos que demuestran el problema; uno famoso es el del bibliotecario que clasifica sus libros en dos estantes, separándolos en aquellos que hacen referencia de si mismos (por ejemplo, a través de referencias cruzadas) y aquellos que no. Cuando el bibliotecario quiere crear un catálogo de los  libros que no hacen referencia a sí mismos se encuentra con un problema: ¿en cuál estante debe poner el catálogo? Porque si lo pone en el estante de los libros que no hacen referencia a sí mismos debería incluir en el mismo una línea que contabilice el propio catálogo… con lo cual tendría que pasarlo al otro estante ya que contendría una referencia a sí mismo… pero si lo pasa al otro estante la línea estaría equivocada por lo que tendría que eliminarla… pero si elimina la línea el catálogo deja de pertenecer al segundo estante por lo que tendrá que pasarlo al primero y agregar por lo tanto la línea… pero…

Otro ejemplo clásico es el del barbero del emir:

Un día el emir se dio cuenta de la falta de barberos en el emirato, y ordenó que los barberos sólo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo por sí mismas. Cierto día el emir llamó a As-Samet para que lo afeitara y él le contó sus angustias:

—En mi pueblo soy el único barbero. No puedo afeitar al barbero de mi pueblo, ¡que soy yo!, ya que si lo hago, entonces puedo afeitarme por mí mismo, por lo tanto ¡no debería afeitarme! Pero, si por el contrario no me afeito, entonces algún barbero debería afeitarme, ¡pero yo soy el único barbero de allí!

Russell trabajó mucho tiempo con Whitehead para resolver este problema, el cual destruía completamente la estabilidad de la teoría mostrando una inconsistencia imposible de resolver. Sí, algo «tan simple» como esto hizo tambalear toda la estructura de la teoría de conjuntos…

Finalmente el problema fue resuelto (o más bien oculto…) excluyendo de la teoría aquellos conjuntos que hacen referencia a sí mismos: así reducida, la estructura teórica funciona a la perfección y es por esto que se sigue torturando enseñando a los alumnos aún hoy día y por siempre a través de la teoría de conjuntos… si bien ningún profesor que conozca explica este «simple» problema a sus alumnos.

Han existido otros terremotos en la estructura de las matemáticas durante el Siglo XX, por ejemplo el de Kurt Gödel con sus dos teoremas de la incompletitud… pero ese es ya otro tema. Por el momento, podemos darnos por satisfechos y comprender finalmente la siguiente magnífica viñeta de XKCD:

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  1. #1 por ANGELUS-Ruy el 28 enero, 2012 - 21:36

    A ver, después de conseguir traducirlo, que el inglés aún no es lo mío, sigo sin entenderlo muy bien.

    Significa que la pipa hace referencia a sí misma como un fetiche fálico y por eso se excluye de la lista, y por eso no estaba en la lista de la que hacía la lista?

    • #2 por elpinguinotolkiano el 28 enero, 2012 - 23:19

      Perdón, aquí va la traducción:

      En la introducción dice: «La autora Katharine Gates recientemente ha intentado realizar una lista de todos los fetiches sexuales.
      Poco sabía ella que Russell y Whitehead habían ya fallado en la misma empresa.
      .
      K.G.: Hola, Gödel – estamos realizando una lista completa de los fetiches ¿Qué lo enciende a usted?
      G: Cualquier cosa que NO esté en su lista.
      K.G.: …


      El chiste está en que cualquier cosa que NO está en la lista debería estarlo, pero al ponerlo se debe quitar: un ejemplo de la paradoja de Russell debido a una autoreferencia, como la historia del bibliotecario.
      Saludos

      • #3 por ANGELUS-Ruy el 29 enero, 2012 - 0:23

        pues creo que no lo entiendo… jaajaja

        La autorreferencia. Cualquier cosa puede ser unfetiche, por eso se excluye? porque al poder ser un fetiche se autorreferencia y por tanto se invalida?

      • #4 por elpinguinotolkiano el 29 enero, 2012 - 0:28

        Cualquier cosa que no esté en la lista puede ser un fetiche, por ejemplo una piedra del camino… pero al incluir la piedra del camino en la lista, pues deja de ser fetiche porque la condición es no estar en la lista: si lo pones, debes quitarlo, si lo quitas, debes ponerlo… ¡se entra en un círculo sin solución! 😉

        Saludos

      • #5 por ANGELUS-Ruy el 29 enero, 2012 - 0:30

        Pero entonces no hay conjuntos jamás, porque todos son autorreferentes.

  1. La paradoja del librero, ilustrada | El pingüino tolkiano
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