Calculando áreas, 1

En una entrada anterior quedó pendiente el tema de saber por qué el área de un círculo es π r². Pero antes convendría prestar un poco de atención a un par de detalles que generalmente damos por entendidos, aún cuando no necesariamente nos resulten claros: ¿qué es en realidad un área? ¿Cómo se mide? Responder a estas preguntas y llegar a la «conclusión» final nos llevará algunas entradas…

Midiendo cosas

Cuando decimos que algo se encuentra a tres metros y medio de nosotros lo que estamos en realidad haciendo es comparar la distancia a la que nos encontramos del objeto con un patrón, que en este caso es el metro. Sería como tomar una regla de un metro de longitud y notar que entra tres veces y media en la distancia que queremos medir (o lo que viene a ser lo mismo, que necesitamos tres reglas de un metro más la mitad de una cuarta para cubrir esa distancia).

Medir algo no es otra cosa que comparar ese algo con un patrón: una temperatura implica un termómetro oportunamente calibrado; una masa implica el valor del «kilogramo patrón», un ángulo es una fracción de un giro completo que expresamos en una escala prefijada (grados o radiantes), etcétera.

La RAE nos dice de área:

f. Geom. Superficie comprendida dentro de un perímetro.

Mientras que de superficie nos dice:

4. f. Fís. Magnitud que expresa la extensión de un cuerpo en dos dimensiones: longitud y anchura. Su unidad en el Sistema Internacional es el metro cuadrado (m2).

5. f. Geom. Extensión en que solo se consideran dos dimensiones.

Por lo tanto el concepto básico de área/superficie (usaré ambos términos indistintamente en lo que sigue) es intuitivo: algo que tiene tanto longitud como anchura. De la misma forma un volumen es «ancho por largo por alto». Por simplicidad, para definir un área tomamos entonces una unidad de «longitud» (centímetro, metro, lo que nos sirva) y la multiplicamos por una unidad de «anchura» (¡la misma unidad que usamos para la longitud!) para obtener así una «unidad al cuadrado». Si queremos un volumen, multiplicamos también por la «altura». Por lo tanto, si la unidad de longitud es el centímetro tendremos que la unidad de superficie derivada será «centímetro cuadrado» («centímetro cubo» para el volumen); si partimos del metro, entonces «metro cuadrado» y así siguiendo.

Naturalmente tomamos las nociones de «ancho», «largo» y «alto» como direcciones perpendiculares entre sí. Desde un punto de vista matemático esto no es estrictamente necesario por lo que es posible construir formas de medir el espacio tan alocadas como queramos… pero elegir direcciones perpendiculares entre sí simplifica enormemente los cálculos, por lo que mejor sigamos la noción «natural».

Medidas

Midiendo un área

Claramente, medir un área es ver cuántas veces el área unidad entra en el área que queremos medir. Por ejemplo, el área del rectángulo de color turquesa en el siguiente dibujo tiene una base de 5,5 unidades (donde esta u representa «metro», «centímetro», lo que corresponda) y una altura de 2,4 unidades, lo que da un área de 5,5 u × 2,4 u = 13,2 u².

Medida-rect

Evidentemente, con la definición de área que hemos dado medir áreas rectangulares es simple: multiplicamos la extensión de la base en la unidad de medida usada por la extensión de la altura en la misma unidad. Pero comencemos a complicar las cosas.

Complicando las formas

No es difícil «convertir» un paralelogramo en un rectángulo de igual área simplemente «recortando y pegando» en forma correcta, por lo que allí también tendremos el famoso «base por altura».

Medida-paralelogramo

También es claro que cortando a la mitad un paralelogramo genérico tenemos dos triángulos genéricos idénticos, por lo que el área del triángulo será «base por altura dividido dos».

Medida-triang

También podemos «duplicar» un trapecio cualquiera para construir un paralelogramo, llegando a la fórmula general del área del trapecio que tanto hemos usado en la escuela.

Y así podemos seguir… aunque no por mucho. Y es que las figuras simples para las cuales podemos encontrar una fórmula general rápidamente son más bien pocas.

En principio todo polígono, regular o no, puede dividirse siempre en un número de figuras geométricas más simples, por lo que el área de la figura será la suma de las áreas de las partes. Y considerando lo que hemos hecho en la entrada anterior para calcular el valor de π siempre podremos «aproximar» una figura más compleja con una serie cada vez más «ajustada» de figuras simples: por ejemplo, aproximar el área del círculo como la suma de las áreas de los cada vez más angostos triángulos que conforman el polígono regular de 2^{n+1} lados que utilizamos para aproximar el perímetro. Pero esta aproximación nos daría un valor numérico del área, no su fórmula general.

¿Entonces?

Para saber de dónde sale la «maldita» (cariñosamente hablando) fórmula Área = π r² necesitamos entrar en el fascinante mundo del cálculo integral. Pero eso necesitará dos artículos completos más:

Calculando áreas, 2

Calculando áreas, 3

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