Calculando áreas, 2

Este artículo es continuación de uno anterior sobre qué significa calcular un área y sigue el camino allí iniciado para responder a una pregunta que quedó picando desde otro artículo: ¿de dónde sale la fórmula general del área del círculo? Antes de continuar, se recomienda la lectura de:

Calculando áreas, 1

En esa entrada habíamos visto qué significa en realidad el concepto de «área» y fue introducida la idea de aproximar un área general con un gran número de áreas más simples. Veamos ahora cómo llevar adelante esta idea.

Recortando y pegando

Tomemos nuestro círculo y hagamos algunos «cortes» en él, separándolo en anillos del mismo espesor (esta condición no es necesaria, pero ayuda a realizar el cálculo). Luego, «estiremos» estos anillos para formar barras de ancho igual al espesor del anillo y altura igual al perímetro externo del mismo, como se ve en la siguiente figura (la altura de la gráfica inferior no está a escala).

SupAprox

Indicado en el diseño, se ve un triángulo de base r y altura igual al perímetro externo, 2 π r. El área de este triángulo será por lo tanto

\displaystyle \frac{r 2 \pi r}{2} = \pi r^2

¡El valor correcto del área! Ciertamente esto no es casual, pero en lugar de detenernos triunfalmente aquí en lo que queda de esta entrada y en la siguiente intentaremos buscar una forma más general de calcular estas cosas.

Para empezar, debemos notar que la suma de las áreas de las barras es mayor que el área del círculo original: al «estirar» los anillos para convertirlos en barras también tuvimos que deformarlos ya que el perímetro interno es ciertamente menor que el externo. La idea es ahora intentar disminuir el error cometido al deformar los anillos realizando una aproximación y viendo cómo esta aproximación se acerca a la realidad: cuanto más angostos sean los anillos más parecido será el perímetro interno al externo y por lo tanto menor será el error cometido al pasar de anillo a barra.

También es claro que al tener más anillos, y por lo tanto más barras, cada vez más angostos el «efecto dentado» que generan las barras por sobre el triángulo será cada vez menos evidente. Pero tratemos de formalizar el proceso, ya que esto nos servirá para comprender cómo se calculan en general las áreas.

Supongamos que dividimos el círculo original en N anillos de igual espesor. Este espesor lo escribiremos entonces como

\displaystyle \Delta x = \frac{r}{N}

El radio externo del anillo k, con k cualquier número entero entre 1 y N, será claramente k veces el valor de Δx:

r_k = k \Delta x

y por lo tanto la altura de la correspondiente columna, que no es otra cosa que el perímetro externo de ese anillo será

2 \pi k \Delta x

Finalmente, el área de la columna k (que como dijimos es un poco mayor al área del anillo correspondiente) será por lo tanto

\displaystyle A_k = 2 \pi k (\Delta x)^2 = 2 \pi k \frac{r^2}{N^2}

Antes de seguir, es necesario introducir un poco de notación para así escribir menos:

\displaystyle C_N = A_1 + A_2 + A_3 + \ldots + A_N = \sum _{k = 1} ^N A_k

donde C_N será el área que se obtiene de dividir el círculo en N anillos, transformarlos en columnas y sumar las áreas de las columnas: a mayor N, más cerca estaremos del verdadero valor del área de la circunferencia.

Reemplazado algunas cosas llegamos a

\displaystyle C_N = \sum _{k = 1} ^N 2 \pi k \frac{r^2}{N^2} = 2 \pi \frac{r^2}{N^2} \sum _{k = 1} ^N k

Donde en el último paso solo hemos hecho «factor común» de los factores constantes de la suma.

Ahora, todo se reduce a calcular

\displaystyle \sum _{k = 1} ^N k

es decir, la suma de los primeros N números enteros consecutivos y multiplicar el resultado por 2 \pi \frac{r^2}{N^2}.

Pero esto lo vemos en la próxima entrada…

Calculando áreas, 3

Anuncios

,

A %d blogueros les gusta esto: