Calculando áreas, 3

En este artículo se termina el recorrido comenzado en los dos anteriores para saber cómo se calculan las áreas de superficies generales. Es recomendable leer estas entradas antes de seguir:

Calculando áreas, 1

Calculando áreas, 2

Fórmula de Gauss

En la entrada anterior nos habíamos detenido antes de calcular la siguiente suma

\displaystyle \sum _{k = 1} ^N k

Cuenta la leyenda que un profesor quiso castigar a sus alumnos obligándolos a sumar todos los números del uno al cien. Convencido de que esto le daría un buen tiempo libre cuál no habrá sido su sorpresa al ver que un alumno le daba la respuesta correcta solo unos segundos después: este alumno, de unos diez años, no era otro que Carl Friedrich Gauss, quien sería conocido como «el príncipe de las matemáticas». Gauss es uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos (si bien era alemán y no francés…), pero ¿cómo obtuvo el resultado correcto tan rápido?

Pues encontrando una «fórmula general».

Existen muchas formas de demostrar la fórmula de la suma de los primeros N enteros. Por una parte (que al parecer es lo que Gauss hizo), podemos notar que sumar el primero con el último, o el segundo con el penúltimo, o el tercero con el antepenúltimo… da siempre el mismo resultado. Pensando un poco qué sucede si N es par o impar se puede obtener la fórmula correcta. Otra forma, quizás más simple, es pensar el problema geométricamente.

Gauss-suma-1bRepresentemos cada entero de 1 a N por un correspondiente número de puntos (un punto para el 1, dos para el 2, tres para el 3… N puntos para N) y juntemos todos los puntos así obtenidos ordenándolos en un triángulo como en el esquema de la izquierda (donde N = 5): el número total de puntos en el triángulo será igual a la suma que estamos buscando.

Dado que obtenemos un triángulo podríamos estar tentados de hacer «base por altura sobre dos», pero esto sería incorrecto ya que contaríamos los puntos de la diagonal la mitad de las veces (¿pueden ver el por qué?). Para evitar esto, dupliquemos los puntos creando un rectángulo como en la siguiente figura (donde también N = 5).

Gauss-suma-2Ahora sí podemos hacer base (N + 1) por altura (N) para obtener el número de puntos del rectángulo: dividiendo entonces por dos obtenemos la cantidad de puntos en el triángulo inicial, que como dijimos no es otra cosa que la suma de los primeros N enteros

\displaystyle \sum _{k = 1} ^N k = \frac{N (N+1)}{2}

Volvamos ahora con este resultado a nuestro valor aproximado del área del círculo

\displaystyle C_N = 2 \pi \frac{r^2}{N^2} \sum _{k = 1} ^N k = 2 \pi \frac{r^2}{N^2} \frac{N (N+1)}{2}

Simplificando y distribuyendo términos llegamos a

\displaystyle C_N = \pi r^2 \left( 1 + \frac{1}{N} \right)

¡Y aquí ya casi hemos llegado al resultado final! Lo único que falta hacer es un paso al límite. ¿Que en qué consiste esto? Pues en pensar qué sucede cuando una variable indefinida se acerca a un valor en el cual, quizás, no podríamos calcular la expresión: en nuestro caso, ver qué pasa si N crece infinitamente.

Si hacemos crecer el valor de N la fracción 1/N, que es la que tiene cuenta del «borde dentado» creado por las columnas, nos dará un número cada vez más pequeño, al punto de que la fracción puede ser completamente despreciada frente al valor del 1. Simbólicamente,

\displaystyle \lim_{N \to \infty} C_N = \pi r^2

Es decir, tal como intuimos al principio la parte «dentada» que aparece al pasar de anillos a columnas puede ser completamente despreciada cuando consideramos un gran número de columnas.

¡Finalmente hemos demostrado la fórmula del área del círculo!

Recapitulando: el cálculo integral

Supongamos por simplicidad que tenemos una función que da resultados positivos para valores de la variable entre a y b. Supongamos también que queremos calcular el área coloreada en el siguiente gráfico y que para eso dividimos el intervalo entre a y b en N segmentos (no necesariamente iguales), limitados por los puntos a,~x_1 ,~x_2 ,~\ldots ,~ x_{N-1},~b, donde hemos puesto x_N = b.

IntegralSiguiendo lo que hicimos con el área del círculo podemos separar el intervalo en N columnas, cada una «etiquetada» con un número natural k que va desde 1 hasta N, de altura f(x_k ) y ancho \Delta x_k y decir que el área que buscamos es la suma de las áreas de esas columnas haciendo luego el límite para el número de columnas tendiente a infinito. Simbólicamente:

\displaystyle \acute{A}rea = \mathop{\lim_{N\to\infty}}_{\{\Delta x_k\} \to 0} \sum_{k=1}^{N}f(x_k)\Delta x_k \overset{\text{\tiny def}}{=} \int\limits_a ^b f(x)dx

donde hemos indicado explícitamente no solo que el número N de columnas tiende a infinito, sino que el ancho de cada una de ellas debe tender a cero. El miembro de la derecha solo pone en evidencia que lo que aquí tenemos es la definición (muy simplificada: la teoría completa es más detallada y flexible) de una integral de Riemann.

Imagen obtenida del artículo de wikipedia sobre las integrales de Riemann enlazado más arriba. Como puede verse, no es necesario tomar para la altura de las columnas el valor de la función en uno de los extremos del intervalo: tomando un punto medio puede lograrse un cálculo más eficiente.

Conclusión

Claramente sería un tanto «pesado» el tener que calcular todas las integrales haciendo este penoso proceso de división del intervalo y cálculo de límites, pero afortunadamente no es necesario: existen muchos métodos que permiten calcular integrales (y áreas, y otras cosas) rápidamente y en forma eficiente.

Pero el objetivo de estos artículos no ha sido el de presentar un curso completo de cálculo integral ya que esto necesitaría todo un libro (que ya los hay, y muy buenos) en lugar de una simple serie de artículos sueltos: la idea ha sido la de llevar al lector que no ha tenido la oportunidad de enfrentarse a estas cuestiones al punto de partida de un fascinante tema, demostrando al mismo tiempo que en matemática toda fórmula tiene un porqué. Espero haberlo logrado.

El cálculo integral es uno de los pilares del análisis matemático siendo el otro el cálculo diferencial, del cual hablamos en otro lado. Y es que ambos temas están estrechamente relacionados y juntos nos permiten resolver no solo el cálculo de áreas, sino también la dinámica del movimiento de los objetos, de los líquidos y gases, resolver circuitos eléctricos, etcétera.

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