Cálculo diferencial 1: Un paracaidista y las ecuaciones diferenciales

Hace un tiempo introdujimos los conceptos básicos del cálculo integral, partiendo del problema del cálculo del área del círculo (Parte 1; Parte 2; Parte 3). En aquel momento quedó pendiente el hablar del cálculo diferencial, algo que comenzaremos a hacer hoy.

Esta vez el viaje será más largo (por ahora, son seis partes), por lo que iremos con comodidad.

Comenzaremos con un problema práctico: describir la caída de un paracaidista.

Un poco de física

Simplifiquemos el problema para remarcar los conceptos más importantes. Imaginemos al paracaidista dejándose caer desde un helicóptero o globo aerostático que está fijo a una altura determinada h_0. Es decir, el paracaidista no se impulsa ni hacia arriba (mala idea en un helicóptero), ni hacia un costado, ni hacia abajo: simplemente se deja caer como Felix Baumgartner (aunque desde una altura más segura…). Consideremos que el paracaidista no realiza acrobacias y siempre presenta el mismo «frente» al aire. También supongamos que no hay viento. Digamos (y esta es una aproximación casi grosera) que la densidad del aire no cambia con la altura.

Unas cuantas aproximaciones: la idea de este artículo y de los que lo seguirán no es ser precisos, sino introducir algunas ideas clave de una forma accesible y así comprender el problema general.

Pues bien, la velocidad inicial del paracaidista es entonces cero y su movimiento en los primeros instantes está determinado solo por la fuerza peso P que, como todo lector recordará de su curso de física en la escuela ( 😉 ) puede aproximarse por

P = M g

con M la masa del paracaidista (y su equipo) y g = 9{,}8 \frac{m}{s^2}.

A medida que el paracaidista acelera hacia tierra, su velocidad relativa al aire será cada vez mayor lo que generará una creciente resistencia al avance. Sin entrar en detalles (la forma de esta fuerza surge de analizar la ecuación de Navier-Stokes… una ecuación diferencial, ¡justamente el tema que aquí queremos introducir!), podemos representar esta resistencia con buena aproximación con una fuerza de la forma

F_1 = k_1 v^2

con v la velocidad de caída y k_1 una constante que depende de las condiciones del salto, la ropa usada, etcétera.

Es decir, tenemos dos fuerzas, una constante hacia abajo y otra variable hacia arriba. Con un esfuerzo de memoria, el lector recordará quizás la segunda ley de Newton: la fuerza resultante sobre un cuerpo es igual a su masa multiplicada por la aceleración del mismo. Si medimos todas las distancias desde el punto de inicio de la caída (la tierra se encontrará en la posición h_0) como se ve en la figura tendremos

caerM g - k_1 v^2 = M a

con a la aceleración.

Como es fácil ver de la expresión de F_1, la fuerza de resistencia aumenta al aumentar la velocidad, hasta el punto en el que alcanza el mismo valor del peso: a partir de ese momento la fuerza neta es cero, la aceleración será cero y el paracaidista se moverá por lo tanto a velocidad constante, llamada velocidad límite:

\displaystyle v_{lim_1} = \sqrt{\frac{M g}{k_1}}

El valor típico de la velocidad límite de un paracaidista con el paracaídas cerrado es v_{lim_1} \approx 56 \frac{m}{s} \approx 200 \frac{km}{h} (lo que implica, para una masa de 90 kg, una constante k_1 \approx 0{,}29 \frac{kg}{s}).

Es decir, mejor abrir el paracaídas…

Nuevamente sin entrar en detalles (los paracaídas modernos se comportan más como un ala que como una «bolsa que ofrece resistencia»), podemos decir que lo que sucede al abrir el paracaídas es que la constante que caracteriza la fuerza de resistencia aumenta considerablemente: al ser ahora la velocidad grande, la fuerza F_2 = k_2 v^2 será mayor que el peso por lo que el paracaidista comienza a disminuir su velocidad hasta que nuevamente la fuerza de resistencia equilibra el peso y se sigue con una nueva velocidad límite, mucho menor que la anterior:

\displaystyle v_{lim_2} = \sqrt{\frac{M g}{k_2}}

Valor típico de esta velocidad con paracaídas abierto es v_{lim_2} \approx 4{,}4 \frac{m}{s} \approx 16 \frac{km}{h} (lo que implica una constante k_2 \approx 46{,}5 \frac{kg}{s}), lo cual es ya más humano…

En resumen, considerando la aceleración se tiene que el movimiento comienza con una aceleración hacia abajo igual a g que va rápidamente disminuyendo hasta hacerse cero; luego, cuando el paracaídas se abre, se tiene una fuerte aceleración hacia arriba (es decir, negativa de acuerdo al esquema que elegimos) que también se acerca a cero con el tiempo, pero que logra disminuir la velocidad hasta su nuevo valor límite. Si consideramos la velocidad esta aumenta, primero rápidamente y luego cada vez menos hasta que alcanza un valor constante (cuando la aceleración se hace cero la primera vez), luego disminuye al abrir el paracaídas hasta alcanzar el valor constante final.

Hasta aquí, todo bien, pero ¿qué tal si queremos conocer la velocidad en todo momento? Podríamos estar interesados en conocer qué tan rápido se pasa de v_{lim_1} a v_{lim_2} ya que si el «tirón» es demasiado fuerte el paracaidista podría salir lastimado aún si llegara a tierra con una v_{lim_2} muy baja.

Pero también es necesario conocer la distancia necesaria para pasar de v_{lim_1} a v_{lim_2}: si el tirón es muy débil podría ser necesaria una distancia para alcanzar la velocidad límite mayor a la disponible, por lo que terminaríamos estrellándonos en forma violenta.

Pues bien, todo pasa por resolver la ecuación diferencial (en su momento veremos qué significa este término) que ya hemos escrito más arriba:

M g - k_1 v^2 = M a

Es decir, una ecuación que mezcla velocidad y aceleración, dos cantidades que como hemos visto varían significativamente con el paso del tiempo.

La solución general del problema planteado es compleja (y ni hablar de si entramos en detalles) e implica funciones hiperbólicas, pero a no preocuparse: igual podemos utilizar el problema para introducir los conceptos esenciales del cálculo diferencial sin hacer todas las cuentas.

Y con suerte (y ganas), también podremos hacer un cálculo iterativo aproximado con la ayuda de algún guión en Octave, tal y como hicimos para el cálculo de π.

Pero eso será en otro(s) día(s), que primero hay que introducir algunos conceptos importantes.

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