Cálculo diferencial 2: posiciones, velocidades y aceleraciones

Sigamos el recorrido hacia las ecuaciones diferenciales iniciado en la entrada anterior. Para un índice de los artículos sobre este tema, puede consultarse este enlace.


Volvamos a escribir una ecuación que vimos en la primer parte de este camino hacia el cálculo diferencial, esta vez sin subíndices:

M g - k v^2 = M a

con k, M, g constantes, v la velocidad del objeto que cae y a su aceleración. Pero antes de seguir adelante, detengámonos un momento a considerar estas dos palabras: velocidad y aceleración. Y sumemos dos más: posición y desplazamiento.

Estas cuatro palabras pueden parecer banales, al fin y al cabo las usamos cotidianamente, pero en realidad no lo son: gente muy inteligente se ha hecho grandes embrollos en el pasado con estos conceptos que implican las ideas de continuo, límite y todo lo que nos lleva al cálculo infinitesimal.

Comencemos por las dos últimas palabras de este cuarteto complicado.

Posición

Establecer una posición es dar una relación entre el punto que queremos identificar y un par de referencias:

  • una medida de la distancia
  • un punto de referencia desde el cual medir estas distancias.

Para la medida de la distancia, plagio mi propio texto:

Cuando decimos que algo se encuentra a tres metros y medio de nosotros lo que estamos en realidad haciendo es comparar la distancia a la que nos encontramos del objeto con un patrón, que en este caso es el metro. Sería como tomar una regla de un metro de longitud y notar que entra tres veces y media en la distancia que queremos medir (o lo que viene a ser lo mismo, que necesitamos tres reglas de un metro más la mitad de una cuarta para cubrir esa distancia).

Medir algo no es otra cosa que comparar ese algo con un patrón: una temperatura implica un termómetro oportunamente calibrado; una masa implica el valor del «kilogramo patrón», un ángulo es una fracción de un giro completo que expresamos en una escala prefijada (grados o radiantes), etcétera.

Sobre el punto de referencia no hay mucho que decir: arbitrariamente decido medir todas las distancias «desde aquí», con «aquí» cualquier punto que yo decida… pero que luego tendré que mantener durante todas las mediciones. Por ejemplo, en lo presentado en la anterior entrada de esta serie el punto de referencia era el lugar desde donde salta el paracaidista. Claramente podríamos haber elegido otro punto (por ejemplo, el suelo): los cálculos parciales serían ligeramente diferentes, pero el resultado final debería ser el mismo.

Desplazamiento

Desplazarse es pasar de un punto a otro, pero atención, este concepto implica uno muy importante en nuestro discurso: el tiempo. Porque desplazarse implica una secuencia (partir de un lugar y llegar luego a otro) y es aquí donde veremos nacer el concepto de velocidad: un desplazamiento en un cierto tiempo.

Por simplicidad imaginemos que todos los desplazamientos son en línea recta (así no entramos a considerar vectores ni direcciones) y representemos la posición de un objeto en los distintos instantes de su movimiento.

Es decir, tomemos una medida no solo para la posición sino también para el tiempo (por ejemplo, segundos) y un nuevo punto de referencia desde donde medir esos tiempos (el momento de encender el cronómetro, que indicamos por cero). Es decir, en todo problema donde se estudie el movimiento de un cuerpo tendremos dos puntos de referencia, uno espacial y otro temporal y dos medidas, una para intervalos en el espacio y otra para intervalos en el tiempo.

Con estas consideraciones, podríamos crear un gráfico semejante al siguiente

PosTiempo

Aquí vemos que al instante t_0 (medido desde el punto de referencia temporal) el objeto se encuentra en la posición x_0 (medida desde el punto de referencia espacial). Al pasar el tiempo el objeto se aleja hasta alcanzar la posición x_{m\acute ax} en el instante t_1, donde se detiene. Allí permanece hasta el instante t_2 donde comienza a retroceder hasta alcanzar el punto de referencia en el instante t_3. Luego, sigue alejándose del punto de referencia, pero esta vez del otro lado.

Velocidad y aceleración

Cuando realizamos un viaje en auto, siempre hacemos cálculos del tipo «recorrimos 180 km en dos horas: viajamos a 90 km por hora». Es decir, dividimos el espacio recorrido por el tiempo empleado para obtener una velocidad media. Pero claramente es posible ir en algún momento más rápido y en otro momento más lentamente (el maldito tráfico…) obteniendo el mismo resultado general. Para tener una idea más precisa de cómo fue el movimiento podríamos dividir el viaje en etapas (por ejemplo, en cuartos o en doceavos) y ver el tiempo que tardamos en cada etapa: cuantas más etapas, mayor precisión. Por lo tanto, si indicamos con \Delta x un cambio en la posición y con \Delta t el tiempo empleado para realizar ese cambio, podemos decir que la velocidad instantánea es el «límite» del cociente entre el desplazamiento y el tiempo empleado considerando intervalos de tiempo cada vez más pequeños. Simbólicamente:

\displaystyle v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}

De la misma forma que la velocidad es la variación de la posición en el tiempo, la aceleración es la variación de la velocidad en el tiempo:

\displaystyle a = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta t}

Y así como introdujimos en su momento la notación integral para un cierto límite, podemos ahora introducir otra notación, la de la derivada:

Velocidad como derivada de la posición respecto del tiempo

\displaystyle v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} \mathop{=}^{\text{\tiny{def}}} \frac{d}{dt}x

Aceleración como derivada de la velocidad respecto del tiempo

\displaystyle a = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta t} \mathop{=}^{\text{\tiny{def}}} \frac{d}{dt}v

Y ya que estamos: dado que la aceleración es la derivada de la velocidad y que la velocidad es la derivada de la posición, podríamos introducir una «derivada segunda» que no es otra cosa que derivar algo dos veces:

\displaystyle a = \frac{d}{dt}v = \frac{d}{dt}\left( \frac{d}{dt}x \right)\mathop{=}^{\text{\tiny{def}}}\frac{d^2}{dt^2}x

Con lo cual, la ecuación con la que abrimos esta entrada

M g - k v^2 = M a

ecuación que mezcla velocidad y aceleración, pasaría a escribirse como una ecuación diferencial donde solo se encuentra la velocidad:

\displaystyle M g - k v^2 = M \frac{d}{dt}v

o, en forma aún más interesante, como una ecuación diferencial donde solo se encuentra la posición:

\displaystyle M g - k \left( \frac{d}{dt}x \right)^2 = M \frac{d^2}{dt^2}x

Pero antes de ver qué puede hacerse con semejantes ecuaciones, tenemos una pregunta interesante para responder: al hablar de integrales dijimos que estas nos daban áreas, ¿cuál es el significado de una derivada?

Lo vemos en una próxima entrada de esta serie.

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