Cálculo diferencial 3: el significado de las derivadas

Sigamos el recorrido hacia las ecuaciones diferenciales. Para un índice de los artículos sobre este tema, puede consultarse este enlace.


En la entrada anterior quedó pendiente hablar del significado de la derivada. Comencemos entonces con el caso más simple: un objeto moviéndose a velocidad constante.

Advertencia: hoy hay que arremangarse un poco y hacer algo de álgebra… pero será fácil.

Hablamos ya de la velocidad media: el cociente entre una distancia y el tiempo empleado para recorrerla

\displaystyle v_{media} = \frac{\Delta x}{\Delta t}

Si la velocidad es constante este cociente será independiente de los puntos que elijamos para calcularlo. Por ejemplo, si a los tiempos t_0, t_1 y t_2 le corresponden las posiciones x_0, x_1 y x_2, y recordando que «delta algo» es igual al valor final de ese algo menos su valor inicial (por ejemplo, \Delta x = x -x_0) podemos escribir

\displaystyle v = \frac{x_1 -x_0}{t_1 -t_0} = \frac{x_2 -x_0}{t_2 -t_0} = \frac{x(t) -x_0}{t -t_0}

donde en el último miembro de la expresión simplemente utilizamos una «posición genérica» para la posición final.

Ahora bien, partiendo de esta última expresión y con un mínimo de álgebra se llega fácilmente a

\displaystyle x(t) = x_0 + v (t -t_0)

expresión que el lector, con un nuevo esfuerzo de la memoria, podrá recordar como la «ley horaria» del movimiento rectilíneo e uniforme: vamos, moverse en línea recta y a velocidad constante 🙂

Como puede verse, no solo el movimiento es en línea recta sino que la función del tiempo que lo representa también es una recta con la velocidad como su pendiente, tal y como puede verse en el siguiente esquema

MRU

Volvamos entonces a la situación general donde la velocidad varía y tratemos de comprender qué significa la velocidad media en este contexto y qué sucede cuando consideramos intervalos temporales cada vez más pequeños.

sec-tan

Como puede verse del gráfico, el cociente \frac{\Delta x}{\Delta t} no es otra cosa que la pendiente de la recta, llamada secante, que va entre los puntos extremos del intervalo elegido.

Ahora bien, cada vez que disminuimos el intervalo temporal \Delta t haciéndolo tender hacia un punto, la recta secante se aproxima a la recta tangente a la curva en ese punto.

Y esto nos dice algo muy importante: la derivada de una función en un punto da el valor de la pendiente de la recta tangente de esa curva en ese dado punto.

Un ejemplo

Antes de continuar, una advertencia repetida: la idea de estos artículos no es ser completamente rigurosos, que para eso existen ya magníficos libros1, por lo que los cálculos que siguen son un poco «simplificados» 😉

Es claro que si la derivada me da la pendiente, una función que sea constante en el tiempo dará derivada cero. También es claro que la derivada de una recta me dará su pendiente: para una recta, ¡su recta tangente es ella misma!

A modo de ejemplo (que aprovecharemos en siguientes entradas…), veamos el cálculo de la derivada de la siguiente función

x(t) = A \left( t -t_0 \right)^2

para el tiempo t_1. Pero antes reescribamos la definición de derivada en una forma más cómoda:

\displaystyle v(t_1) = \frac{d}{dt}x = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = \lim_{t \to t_1} \frac{x(t) -x_1}{t -t_1}

Introduciendo entonces nuestra función, se obtiene

\displaystyle v(t_1) = \lim_{t \to t_1} \frac{ A \left( t -t_0 \right)^2 -A \left( t_1 -t_0 \right)^2}{t -t_1}

Si ahora desarrollamos los cuadrados y simplificamos un poco (varios términos se cancelan, diferencias de cuadrados, simplificación… lo usual: dejo los detalles al lector 😉 )

\displaystyle v(t_1) = \lim_{t \to t_1} \left[ A \left( t + t_1 \right) -2 t_0 \right]

Ahora bien, es claro que si calculamos el límite para t \to t_1, tendremos que t + t_1 \to 2 t_1. Es decir,

\displaystyle v(t_1) = \frac{d}{dt}\left[ A \left( t -t_0 \right)^2 \right]_{t_1} = 2 A \left( t_1 -t_0 \right)

Donde el subíndice a la derecha de los corchetes de la derivada sirve para hacer explícito el hecho de que estamos calculando esa derivada para el tiempo t_1.

En la siguiente entrada de esta serie hablaremos de un tema tan importante que viene llamado «teorema fundamental del cálculo»: la estrecha relación entre derivadas e integrales.


 1 De la universidad, recuerdo con cariño al «Cálculo diferencial e integral» de Piskunov.

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