Cálculo diferencial 4: la relación entre derivadas e integrales

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Cuarta parte del recorrido hacia las ecuaciones diferenciales. Para una lista con los artículos de este tema tenemos el índice aquí a la derecha.

Un detalle importante antes de continuar: en los artículos anteriores calculamos la derivada de una función para un valor particular de su variable. Ahora bien, nada impide hacer este cálculo para más valores… o incluso para todos los valores de la variable. Podemos así construir, a partir de la función original, una nueva función que me dará el resultado de la derivada de la función original para cada valor de su variable.

Ahora sí, ataquemos el tema de esta entrada. Con suerte, tanto el tema como nosotros saldremos ilesos… 😉

En entradas anteriores hemos hecho algunos gráficos mostrando la posición de un objeto en función del tiempo. Probemos ahora a hacer un gráfico diferente: la velocidad del objeto en función del tiempo

Velocidad-tiempo1

En un gráfico de este tipo, una línea horizontal nos dice que la velocidad se mantiene en un valor constante, mientras que una línea recta nos dice que la velocidad varía con aceleración constante.

Detengámonos un momento para recordar lo que vimos en su momento al hablar de integrales (Parte 1, Parte 2, Parte 3). ¿Listo? ¿Seguros de haber repasado en profundidad? Bien, sigamos.

Una cosa importante de notar es que si bien en aquellos artículos calculamos integrales en el plano para así obtener un área, la definición que dimos de integral no está limitada a esto: cualquier función que dependa de «algo» puede ser integrada respecto a ese algo. Integrar en el plano dará un área, integrar en otro tipo de variables dará otra cosa, pero el concepto es siempre el mismo.

Tratemos entonces de calcular la integral de la velocidad como función del tiempo y veamos que tipo de «área» obtenemos.

Tal y como hicimos la otra vez, aproximemos esta «área» con N columnas de un cierto ancho \Delta t_k y altura igual al valor real de la función en el borde izquierdo de la columna misma. Finalmente, haremos el famoso «límite» para un número infinito de columnas cada vez más angostas.

Básicamente estamos aproximando la función del gráfico anterior por otra formada por tramos horizontales, tal y como se ve en el siguiente gráfico

Velocidad-tiempo2

Es decir, el área será

\displaystyle \int\limits_{t_0} ^{t_{final}} v(t)dt = \mathop{\lim_{N\to\infty}}_{\Delta t_k \to 0} \sum_{k=1}^{N}v(t_k)\Delta t_k

Pero como dijimos al principio, una línea horizontal implica velocidad constante y por lo tanto podemos escribir

\displaystyle v(t_k) = \frac{\Delta x_k}{\Delta t_k}

Reemplazando en la expresión de arriba, obtenemos

\displaystyle \int\limits_{t_0} ^{t_{final}} v(t)dt = \mathop{\lim_{N\to\infty}}_{\Delta t_k \to 0} \sum_{k=1}^{N}\frac{\Delta x_k}{\Delta t_k}\Delta t_k = \mathop{\lim_{N\to\infty}}_{\Delta t_k \to 0} \sum_{k=1}^{N} \Delta x_k

Es decir, cada columna de la aproximación nos da el desplazamiento que se tendría al mantener la velocidad constante, por lo que la suma de las columnas no es otra cosa que una aproximación al desplazamiento total del objeto. Y claro, luego de tomar el límite obtendremos que la integral de la velocidad como función del tiempo es exactamente el desplazamiento real del objeto en ese tiempo

\displaystyle \int\limits_{t_0} ^{t_{final}} v(t)dt = \Delta x = x(t_{final}) -x(t_0)

Lo cual, recordando que la velocidad no es otra cosa que la derivada de la posición respecto del tiempo, nos da

\displaystyle \int\limits_{t_0} ^{t_{final}} \frac{d}{dt} x(t) dt = \Delta x = x(t_{final}) -x(t_0)

Es decir, la integral de la derivada de una función nos da la variación de la función original entre los extremos de integración. En forma general, para una función cualquiera que depende de una variable general:

\displaystyle \int\limits_{\xi_0} ^{\xi_{final}} \frac{d}{d\xi}f(\xi) d\xi = f(\xi_{final}) -f(\xi_0)

A este importante resultado se lo conoce como teorema fundamental del cálculo.

Derivadas e integrales están estrechamente relacionadas: en un sentido general podemos decir que una es la «inversa» de la otra. Por lo tanto, si tenemos una ecuación diferencial simple en la cual la derivada de una función está igualada a una expresión, para resolver el problema ¡solo es necesario calcular la integral de la expresión!

Volveremos un poco sobre esto en la siguiente entrada.

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