Cálculo diferencial 5: integrando ecuaciones diferenciales

Quinta parte del recorrido hacia las ecuaciones diferenciales. Para un índice de los artículos sobre este tema, puede consultarse este enlace.


En la última entrada hablamos de la relación entre derivadas e integrales. Si por ejemplo tenemos una ecuación donde la derivada de una función desconocida es igual a una función que conocemos,

\displaystyle \frac{d}{d\xi}f(\xi) = g(\xi)

tendremos que

\displaystyle f(\xi) -f(\xi_0) = \int \limits _{\xi_0} ^{\xi} g(\xi)d\xi

Por ejemplo, en una entrada anterior dijimos que la derivada de una recta me da una constante (su pendiente), por lo que si miramos todo del otro lado,

\displaystyle \frac{d}{dt}v(t) = A

con A una constante, implica que

 v(t) -v(t_0) = A(t -t_0)

También vimos que

\displaystyle \frac{d}{dt}\left[ A \left( t -t_0 \right)^2 \right]_{t_1} = 2 A \left( t_1 -t_0 \right)

Por lo tanto, no es difícil ver que

\displaystyle \int\limits _{t_0} ^{t} A(t -t_0) dt = \frac{1}{2}A(t -t_0)^2

Volvamos entonces a nuestra famosa ecuación diferencial

\displaystyle M g - k v^2 = M \frac{d}{dt}v

y hagamos algo que, si bien arriesgado para nuestro paracaidista, nos simplificará enormemente los cálculos: eliminemos la fricción con el aire haciendo k = 0. Es decir, una verdadera caída libre en ausencia de atmósfera. En esta situación, luego de simplificar el factor de la masa obtenemos

\displaystyle \frac{d}{dt}v = g

donde g es una constante (en este caso, la aceleración de la gravedad).

Con lo visto anteriormente podemos resolver esta ecuación simplemente integrando, lo que nos dará

\displaystyle v(t) -v(t_0) = \int\limits _{t_0} ^t g dt = g(t -t_0)

Recordando ahora que la velocidad es la derivada de la posición respecto del tiempo, podemos obtener

\displaystyle x(t) -x(t_0) = \int\limits _{t_0} ^t \left[ v(t_0) + g(t -t_0) \right]dt

Ahora bien, una integral es básicamente una suma de cosas (seguida de un límite), por lo que la integral de la suma de dos funciones será la suma de sus integrales. A partir de esto, de considerar que v(t_0) es simplemente un número constante (el valor de la velocidad en un único instante bien definido) y de lo que vimos durante esta entrada llegamos a

\displaystyle x(t) -x(t_0) = v(t_0) (t -t_0) + \frac{1}{2} g (t -t_0)^2

que no es otra cosa que la «ley horaria» del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Hagan un esfuerzo de memoria, que seguro lo vieron en la escuela: ahora, ya saben de dónde sale.

Desafortunadamente, la ecuación diferencial que ha servido de hilo conductor en estas entradas es mucho más compleja. El término con la velocidad al cuadrado y la presencia de una constante hacen que sea particularmente difícil de resolver, por lo que el explicar el resultado exacto sería demasiado para estas modestas entradas (la solución general para la velocidad implica una función hiperbólica con otras funciones hiperbólicas —y otras cosas— en su argumento, mientras que integrar eso para obtener la posición agrega un logaritmo…). Pero a no desesperar, que aún así podremos utilizar lo aprendido para realizar un cálculo iterativo aproximado en Octave.

Pero eso será en la última entrada de la serie.

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