Un siglo de simetrías: el teorema de Noether

Todos hemos oído y usado la frase «nada se pierde, todo se transforma». Incluso más de uno recordará (dependiendo de los profesores que tuvo, quizás con cierto dolor) las clases de física de la escuela donde «la energía mecánica del sistema queda constante».

Quizás incluso algún lector recuerde haber resuelto exóticos problemas donde dos cosas chocaban y quedaban pegadas usando la «conservación del impulso/momento/momento lineal/nombre favorito de su docente».

Leyes de conservación.

Y es que los problemas que intenta resolver la física (por ejemplo, cómo funciona la realidad) son terriblemente complicados e incluso con herramientas increíblemente potentes como el cálculo diferencial resultan terriblemente difíciles. Es por esto que encontrar resultados «precocidos», cantidades más generales que fueran más fáciles de calcular siempre resultó de fundamental importancia.

Y qué mejor que «algo» que no cambie al pasar el tiempo, algo que quede siempre igual a si mismo.

Ya en los comienzos de la física teórica gente como Descartes, Leibniz y Newton encontraron y estudiaron cosas que bajo ciertas condiciones se podían considerar como constantes: la Energía y el Momento lineal. Estas cantidades, que suelen llamarse «integrales primeras», permitían y permiten encontrar muchos y muy importantes resultados al estudiar un sistema físico con la ventaja de reducir la complejidad de los cálculos necesarios.

Ahora bien, dado que estas «integrales primeras» resultan tan útiles, ¿no será que existen otras?

Pues sí. En los siglos que siguieron a Newton muchos intentaron y lograron encontrar métodos para descubrir estas cantidades «mágicas» y cada paso dado fue una gran victoria. Pero la mayor de las victorias llegaría en 19151 cuando Emmy Noether desarrolló el teorema que lleva su nombre (en realidad son más de uno, pero no entremos en detalles técnicos).

El teorema de Noether es tan importante tanto para la física como para la matemática que parece increíble que incluso muchos estudiantes de ciencia hoy en día no conozcan a esta excepcional matemática alemana. Quizás se deba al carácter altamente técnico de su trabajo, pero la realidad es que los alcances del mismo son realmente amplios, con ramificaciones que pueden aplicarse no solo a la mecánica clásica sino también a la relatividad, a la cuántica, a la teoría de campos, a casi todo.

La idea de base es de una belleza y elegancia impresionantes. Por ejemplo, ¿la descripción del problema no cambia si la hago ahora o dentro de diez minutos? Entonces la energía es constante. ¿La descripción del problema es la misma si la miro desde aquí o desde más lejos? Entonces el momento lineal se conserva. ¿Nada cambia si miro todo desde otro ángulo? Pues el momento angular (una cantidad que se utiliza para describir sistemas en rotación) se mantendrá constante en el tiempo.

Cada simetría (cada vez que decimos «las cosas no cambian si hacemos esto o aquello») de un sistema implica que algo se mantiene constante en el tiempo. Y esto, junto a otras herramientas como las coordenadas generalizadas (describir un problema no con las usuales coordenadas espaciales, sino con funciones de estas tan extrañas como queramos) abre un mundo de posibilidades: si la descripción de un problema no depende explícitamente de una particular coordenada, de allí podremos deducir una cantidad que quedará constante en el tiempo y que nos ayudará a resolver problemas reales.

Siendo mujer de familia hebrea en la Alemania de principios del siglo 20 la vida de Emmy Noether no fue simple: a pesar de contar con el apoyo de gente como Hilbert y Einstein tuvo que luchar para que las academias reconocieran su grado e incluso para que le pagaran por su trabajo (durante mucho tiempo dio clases en nombre de Hilbert) y solo en 1919 fue reconocida… poco antes de que el sistema nazi la echara de su puesto como a tantos otros de origen hebreo.

Emmy Noether emigró a los Estados Unidos donde falleció en 1935, a los 53 años.

EDITO (febrero 2016): Para profundizar sobre la importancia del trabajo de Noether, ver el gran artículo del blog «cuentos cuánticos»: Emmy Noether, la mujer que nos enseñó a repensar la física.


1 La publicación formal del trabajo sería en 1918, pero para ese entonces ya era conocido por mucha gente, incluyendo Albert Einstein.

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