Qué son los «cálculos de servilleta»

En inglés son los cálculos «detrás del sobre» (back-of-the-envelope). También se les conoce informalmente como «problemas de Fermi» (otro homenaje al gran Enrico Fermi). Pero más allá del nombre que le demos la idea es hermosamente desafiante: al enfrentarnos a un fenómeno del cual tenemos, como máximo, una sospecha, realizar un «cálculo rápido» lleno de aproximaciones que sin embargo no se aleje demasiado de la realidad. Es decir, ver por dónde van los tiros, pero tratando al mismo tiempo de dar cerca del centro del blanco.

Hoy quiero mostrar un ejemplo práctico (es un modo de decir) de este tipo de cálculos: ver qué tan (poco) realista es la tormenta de viento que da inicio a «El marciano».

Creo que a esta altura ya nadie se va a sorprender si digo cómo comienza «El marciano», la novela de Andy Weir llevada al cine por Ridley Scott: durante una misión de exploración de Marte se desata una terrible tormenta que amenaza tumbar la nave espacial por lo que la misión tiene que ser abortada, no sin antes perder a uno de los astronautas (el protagonista de la historia) que queda varado en el planeta rojo.

La novela está bastante bien y la película tiene un par de méritos, pero ambas se toman ciertas «licencias creativas», la peor de las cuales, desgraciadamente, es justamente la tormenta inicial.

Pero no nos adelantemos.

Cuando comencé a leer el libro la primera pregunta que me hice como físico y espaciotrastornado fue, «considerando que la presión atmosférica de Marte es menor del 1% de la de la Tierra, ¿qué velocidad tendría que tener el viento marciano para lograr el mismo efecto que un viento terrestre?».

Reproduzco aquí el «cálculo de servilleta» que hice en ese momento.

Primero, algunas cosas básicas. Recordarás del instituto que «fuerza es igual a masa por aceleración», y dependiendo de tu profesor/a con un esfuerzo recordarás quizás haber visto pasar alguna variante de «impulso dividido tiempo». Pues bien, la forma correcta de esta última expresión es decir que la fuerza es la derivada en el tiempo de una cantidad física llamada momento lineal p, que puede escribirse como el producto de la masa de un objeto por su velocidad.


Si te pica la curiosidad sobre la relación entre el momento lineal, la fuerza y las tres leyes de Newton puedes darte una vuelta por el blog de los cuentos cuánticos, que el señor Enrique Borja no solo es uno que sabe de lo que habla, también sabe decirlo en forma entretenida.


A lo nuestro:

\displaystyle F = \frac{dp}{dt} \approx \frac{\Delta p}{\Delta t} \propto \mathcal{G} \frac{m v}{\Delta t}

donde \mathcal{G} es un factor donde iremos metiendo todas las complicaciones que no nos interesan por el momento (como el hecho de poner la velocidad y no su variación: después de todo, la variación será una fracción de la velocidad…). Recuerda que queremos una «idea», no el resultado exacto.

La atmósfera de la Tierra es principalmente nitrógeno mientras que la de Marte es esencialmente dióxido de carbono. ¿Recuerdas qué es la masa molar de una molécula o el número de moles? Algún día tengo que ponerme a escribir sobre esos conceptos, pero digamos por ahora que los moles nos dan una forma de contar cuántos elementos hay en una cierta cantidad de materia, mientras que la masa molar nos dice la masa de esos elementos (digamos, las moléculas constituyentes). Pues bien

\displaystyle F \propto \mathcal{G} \frac{m v}{\Delta t} \approx \mathcal{G} \frac{M_{mol} n v}{\Delta t}

Ahora tenemos que recordar la ley de los gases ideales: P V = n R T, donde P es la presión,  V el volumen,  n el número de moles, R una constante y T la temperatura en grados Kelvin (esto es importante), lo cual nos permite escribir

\displaystyle F \propto \mathcal{G} \frac{M_{\text{mol}} n v}{\Delta t} = \mathcal{G} \frac{M_{\text{mol}} P V v}{ R T \Delta t}

Ahora bien, ¿cómo podemos reescribir ese volumen? Si consideramos que el gas, por acción del viento, se mueve para golpear una superficie sobre la cual este viento ejercita una fuerza, podemos pensar que ese volumen está formado por el área de esa superficie y una «altura» dada por la distancia recorrida por las partes más lejanas del gas que son capaces de golpear la superficie en el tiempo que estamos considerando. Es decir

\displaystyle V \approx A v \Delta t

Nuevamente nos estamos saltando algunas «cuestiones geométricas», pero para eso tenemos el factor \mathcal{G}. En fin, que todo esto nos da

\displaystyle F \propto \mathcal{G} \frac{M_{\text{mol}} P V v}{ R T \Delta t} \propto \mathcal{G} \frac{M_{\text{mol}} P v \Delta t v}{ R T \Delta t} = \mathcal{G'} \frac{M_{\text{mol}} P A v^2}{T}

donde en la última igualdad he simplificado lo que había que simplificar y he metido todas las constantes que no me interesan en el «factor geométrico».

Ahora toca el último paso: decir que este factor geométrico es más o menos el mismo para las atmósferas de la Tierra y de Marte, poner índices apropiados para diferenciar la Tierra de Marte e igualar las expresiones resultantes… te dejo como ejercicio el ver que

\displaystyle v^{\text{Marte}}\approx\sqrt{\frac{M_{\text{mol}}^{\text{Tierra}}}{M_{\text{mol}}^{\text{Marte}}}\frac{P^{\text{Tierra}}}{P^{\text{Marte}}}\frac{T^{\text{Marte}}}{T^{\text{Tierra}}}}\cdot v^{\text{Tierra}}

También te dejo como tarea el buscar los valores típicos para las variables y jugar con los números. A mi me da que para tener el mismo efecto que en la Tierra, un viento en Marte debería ir entre 7,7 (siendo muy optimista) y 12 veces más rápido que en la Tierra. Es decir, para tener los mismos efectos de un tornado en la tierra (vientos de unos 100 \frac{km}{h}) un viento en Marte tendría que ir entre 770\frac{km}{h} y 1200\frac{km}{h}… con lo que va a ser que no, especialmente considerando que los vientos más rápidos que puede dar Marte no pasan de los 95\frac{km}{h} (60\frac{millas}{h} en el artículo original).

Claramente, tarde o temprano las cuentas hay que hacerlas bien, pero estos cálculos preliminares, el análisis dimensional y otros «trucos sucios» de este estilo siempre resultan útiles para el planteo inicial de un problema. De hecho, buscando un poco por la red (por ejemplo, aquí y aquí) todos parecen concordar con un factor 10 de diferencia.

¡La física es muy divertida!

Es verdad, no es una servilleta. Es muy difícil escribir en servilletas. Tampoco es un sobre. Y sí, la foto es horrible. Estas cámaras de los móviles.

Anuncios

7 comentarios en “Qué son los «cálculos de servilleta»

Aquí puedes dejar un comentario

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.