El monstruo infinito, 1: «¡está lleno de números!»

La semana que viene el blog cumplirá 8 años, por lo que me puse a pensar en algo divertido para decir sobre el número 8. Como te imaginarás, no encontré nada (2 al cubo, qué se puede decir, bien aburrido) por lo que mi mente comenzó a dispersarse y a dar tantas vueltas que caí en una cadena de asociaciones que me llevó a escribir sobre todos los números. Sí, todos, que así soy yo. Por lo que ya sabes: ajústate el cinturón de seguridad que en este artículo y en el próximo vamos a hablar de números, conjuntos e infinitos.

Y de un monstruo, sí, también de eso.

Más precisamente quiero mostrarte el motivo por el cual los números reales forman un conjunto monstruoso… y fascinante. Para esto tendremos que tocar unos cuantos temas, pero no te preocupes que no tendrás que hacer cuentas y el viaje es, creo yo, muy interesante.

Los números de toda la vida, y algunos otros

Todo comienza con los números naturales, los «números de contar» de toda la vida: 1, 2, 3… No voy a entrar en la discusión de si el cero es natural o no (aunque lo usaremos como si lo fuera) y menos aún de si es par o no, o que si la definición axiomática de Peano o de quien quieras. Nada de eso. Lo importante es que tenemos los números naturales, el conjunto ℕ, y una operación definida entre ellos, la adición. Generalizando la adición podemos definir el producto y de invertir suma y producto podemos definir diferencia y división.

De tratar de dar sentido a las operaciones de diferencia y división es que generalizamos los números para obtener los enteros ℤ (agregar los negativos a ℕ) y los racionales ℚ (agregar las fracciones).

Hasta aquí todo bien y consistente. Pero solo hasta aquí, que cuando generalizamos el producto para crear las potencias y luego invertimos las potencias para crear las raíces (cuadradas, cúbicas, las que hagan falta) todo comienza a complicarse, incluso si solo nos dedicamos a considerar las raíces de los números positivos.

Y es justo en estas «complejidades» donde la didáctica numérica suele perder un poco el rumbo: en las escuelas nos dicen cosas como que de las raíces de ciertos números, por ejemplo los números primos, nos dan los irracionales (aquellos números que no pueden ser escritos como fracciones) y que el conjunto formado por los racionales y los irracionales nos da el conjunto de los números reales ℝ.

A ver, un momento, que el conjunto de los números irracionales es mucho, pero MUCHO más grande que el conjunto de «las raíces de ciertos números». Podríamos incluso decir que es monstruosamente más grande… ya llegaremos a eso.

Números algebraicos y números trascendentes

¿Recuerdas qué son los polinomios? ¿No? En fin. Empecemos entonces con los monomios, que son un tipo de función elemental de la forma a_n x^n, con a_n un número cualquiera, al que llamaremos coeficiente, y n un número perteneciente a ℕ (con el cero), al que llamaremos grado. Si ahora sumas varios monomios, cada uno con un grado distinto, pues tenemos un polinomio.

No voy a entrar en los detalles, no te preocupes, es suficiente que tengas en mente esta idea básica de polinomio y el concepto de «cero de una función». No, no estamos hablando de «cero como en el número cero»: un cero de un polinomio es el valor que tienes que darle a la x para que toda la función dé como resultado el número cero. También se lo llama raíz. Que no, que no es «raíz como en raíz cuadrada»… en fin, las limitaciones del lenguaje.

Ya casi estamos. Si de todos los polinomios posibles nos restringimos ahora a aquellos que tienen coeficientes que pertenecen a los números enteros ℤ podemos comenzar a razonar. Pues bien, el conjunto de todos los ceros de todos los polinomios a coeficientes enteros forman el conjunto de los números algebraicos.

Nota: por simplicidad del discurso hoy vamos a ignorar a los números complejos, por lo que solo tomaremos en consideración los ceros de estos polinomios que pertenecen a ℝ.

Es justo en este punto donde la didáctica matemática suele explicar las cosas un poco mal, porque si bien los números algebraicos incluyen aquellas «raíces de ciertos números» de los que hablamos antes, como \sqrt{2},~\sqrt[3]{5}, etcétera, dejan afuera los números como π.

\ln(2), π, e y otras bellezas por el estilo son números que no pueden expresarse como números algebraicos y por lo tanto vienen llamados números trascendentes. Es la unión de los números algebraicos (no complejos) y de los trascendentes la que nos da finalmente los números reales.

¿Que porqué es esto importante? Bueno, para verlo primero tenemos que hablar de otro concepto fundamental, pero el artículo de hoy está quedando ya demasiado largo.

Seguimos en el próximo.