El monstruo infinito, 2: ¿qué tan grande es el infinito?

Además de celebrar el octavo año de esta pingüinera (¡fue ayer!), hoy cerramos el tema que comenzamos la semana pasada. Asegúrate de leer el artículo anterior antes de comenzar con este, que lo que allí se discute es importante para comprender lo que sigue.

Allá vamos.

Medir el infinito

Si definimos un conjunto que sea «sillas en una habitación» podremos fácilmente definir su cardinal, es decir, el número de elementos que el conjunto contiene. Si el cardinal de un conjunto es 2 y el de otro resulta 4, rápidamente podremos decir cuál conjunto «es más grande».

Ahora bien, ¿cómo hacemos esto con conjuntos que tienen infinitos elementos como los números?

Has un esfuerzo de memoria, que seguro lo has visto: «hay tantos números pares como números naturales». De hecho podremos decir que hay tantos números primos como números naturales. Simplemente pones los números en dos columnas y asocias los de una columna con los de otra: si puedes hacer una relación uno a uno entre ambos conjuntos sin olvidarte ningún elemento, decimos que ambos conjuntos tienen «el mismo cardinal»

1 → 2

2 → 3

3 → 5

4 → 7

5 → 11

6 → 13

y así siguiendo infinitamente. Por lo que sí, el cardinal de los números enteros es igual al cardinal de un subconjunto de los mimos como los números primos. Las cosas que pasan cuando tienes conjuntos infinitos. En esta forma de comparar conjuntos infinitos trabajó un señor llamado Georg Cantor, por si te da curiosidad y quieres sumergirte en la wikipedia (buscar enlaces de todo esto te queda como ejercicio: no te quejes, que no te estoy dando para hacer cálculos).

El truco puede extenderse para demostrar (te lo dejo como otro ejercicio, por protestar) que el conjunto de los racionales ℚ también tiene el mismo cardinal que ℕ. Es decir, aunque no lo parezca hay tantas fracciones posibles como números enteros, no más, no menos: ambos conjuntos son «igual de infinitos». ¿Que te resulta extraño? Pues sigue leyendo, que la cosa solo empieza.

El cardinal de los números naturales suele llamarse «aleph cero»: ℵ0. Y sí, como ya te imaginarás existe un «aleph uno», ℵ1, que es más «grande» y corresponde (estoy simplificando mucho el discurso aquí) a la cardinalidad de los números reales ℝ, esos que dijimos están formados por los algebraicos y los trascendentes.

Y es que puede demostrarse que es absolutamente imposible realizar una asociación «uno a uno» entre los naturales y los reales, los reales «siempre sobran» por lo que el conjunto ℝ «es más grande» que el conjunto ℕ. ¿Cómo? Pues con el «argumento de la diagonal de Cantor».

Primero tienes que demostrar, sí, tú, que no voy a hacer todo el trabajo por ti, que la cardinalidad del segmento que va del 0 al 1 es igual a la de todos los reales (pista: piensa en una función como la tangente). Hecho esto, comienzas una «demostración por reducción al absurdo».

El procedimiento es el siguiente: supones que los números reales entre 0 y 1 pueden ser numerados, es decir, que puedes escribir una lista completa de ellos. Pues bien, ahora construyes un nuevo número tomando, para el primer dígito decimal, un número diferente del primer dígito decimal del primer número en la lista, para el segundo dígito decimal del nuevo número, tomas un número diferente del segundo dígito decimal del segundo número de la lista… y así infinitamente. ¡De esta forma habrás construido un nuevo numero que es diferente a todos los números de la lista! ¡La lista no era completa!

Pues bien, demostrado esto tenemos ante nosotros el ℵ0 y el ℵ1, que son diferentes. Aquí tampoco tienes que preocuparte ya que no entraré en el tema de la jerarquía de infinitos o la hipótesis del continuo, temas que nos dejarían a un paso de los problemas de indecibilidad, el axioma de selección y… en fin, mejor no.

Ahora bien, te hago una pregunta tramposa: ¿te imaginas cuál es la cardinalidad de los números algebraicos?

Pues resulta ser ℵ0.

Exacto: \sqrt{2},~\sqrt[3]{5} y todos los números de esa especie que en la escuela eran el ejemplo por excelencia de los números reales resultan ser parte de un conjunto que tiene la misma cardinalidad de los modestos naturales.

La demostración es bien simple: construyes una tabla donde en la primera columna vas pasando por todos los polinomios a coeficientes enteros, en la segunda pones los ceros de esos polinomios y en la tercera los números naturales: relación uno a uno, igual cardinalidad.

Bueno, pensarás, es cuestión de agregar π y todos sus amigos, que así ya tenemos nuestro cardinal ℵ1, ¿verdad?

¡No tan rápido! No tan rápido.

Los números calculables… y los otros

Lo que sigue es algo que se le ocurrió a un tal señor Alan Turing, por si quieres profundizar.

Números como π, e, \ln(2) y parientes son números que, si bien trascendentes, sabemos cómo calcular. De hecho, hace unos años publiqué un artículo sobre cómo calcular π «al estilo de Arquímedes», ¿recuerdas? ¿No? En fin. Ahora bien, piensa un momento, ¿qué significa calcular un número?

Ya sea que lo hagamos a mano o le dejemos la ingrata tarea a una computadora, calcular un número particular implica desarrollar un algoritmo, una lista de instrucciones… y aquí ya tendrías que comenzar a sospechar algo.

Definamos el conjunto de todos los algoritmos posibles. Dado que cada algoritmo no es más que una lista de instrucciones, podremos simplemente hacer una lista numerada de algoritmos: tienes el primer, el segundo… el millonésimo algoritmo, uno de ellos te calcula π, pero no puedes tener el algoritmo número π.

Es decir, dado que puedes hacer una lista con los algoritmos, puedes asociar cada uno de ellos a un único número natural, y eso quiere decir que el cardinal de los números que podemos calcular también es0. El cardinal del conjunto de los números calculables es igual al cardinal de los números naturales.

Exacto: todo esto significa que la enorme, abrumadora, monstruosa mayoría de los números reales no pueden, ni podrán jamás, ser calculados. Están allí, sabemos de su existencia, pero no podemos verlos, acceder a ellos o saber cómo son.

El conjunto de los números reales es un monstruo infinito… y fascinante.


Complemento

Luego de escribir estas dos entradas (el primer borrador creo que lo hice en marzo) descubrí un muy buen canal de youtube llamado Lemniscata, y en él el siguiente vídeo que trata en forma muy entretenida una parte de lo que hemos discutido aquí:

2 comentarios en “El monstruo infinito, 2: ¿qué tan grande es el infinito?

  1. ¡Ahora sí!… ¡Feliz Año Nuevo! (en lo personal me deprime el “cumpleaños” xq no tiene trascendencia la de “cumplir”…) ¡Salud desde Argentina!

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