Complicando números

El artículo de hoy va de «matemáticas solo por diversión», por lo que ya sabes: sigue bajo tu propia responsabilidad.

Y ya que estamos, cada vez que encuentres en el artículo la palabra «real» o alguna de sus variantes me estoy refiriendo a los números reales ℝ, no a que algo «sea verdadero» o cosas así, que hoy no quiero entrar en temas filosóficos.

Introducción

Hace unos meses, bueno, casi un año, me crucé con el siguiente vídeo que muestra un divertido resultado matemático

Por si no te va el inglés, te muestro solo la sorprendente conclusión final:

(1) \sqrt[3]{8+3\sqrt{21}}+\sqrt[3]{8-3\sqrt{21}}=1

Nota: Si tratas de calcular la expresión utilizando Qalculate!, Octave o incluso Wolfram Alpha, ten cuidado de utilizar la raíz cúbica (cbrt(expresión) o root(expresión;3)) y no un exponente fraccionario, ya que los exponentes fraccionarios dan el «valor principal de la raíz»(1) en lugar de la solución real, y eso se nota cuando tomas raíces de números negativos. Es decir, root(-8;3) = cbrt(-8) = -2, pero si escribes (-8)^(1/3) obtendrás algo diferente: la evaluación de 2 eiπ/3


(1) La raíz n-ésima da exactamente n cantidades complejas, todas ellas sobre un círculo: la primera desde el eje x en sentido antihorario es el «valor principal»

Pues sí, todas esas raíces anidadas y sumadas dan un número entero, incluso si algunas de sus partes son claramente irracionales como lo es \sqrt{21}, ¿cómo es esto posible?

Bueno, tranquilos, que en realidad no es tan raro: la segunda raíz es un número negativo y por la propia simetría de la expresión tenemos que las partes decimales de ambas raíces coinciden, con lo cual terminan cancelándose.

Ahora bien, si te gusta jugar con problemas matemáticos independientemente de si son útiles o no (y espero que así sea, que de lo contrario este artículo te resultará pesado), podrías preguntarte, como yo lo he hecho, ¿existe un modo de complicar cualquier número, no solo el 1?

El método

Siempre podemos generalizar la idea utilizada en el vídeo para calcular el número original. Por ejemplo, podríamos reemplazar 3\sqrt{21} con un número genérico a y llamar a la expresión x:

(2) x=\sqrt[3]{8+a}+\sqrt[3]{8-a}

Ahora solo tenemos que elevar todo al cubo y desarrollar la expresión

(3) x^{3}=8+\not a+3\sqrt[3]{\left(8+a\right)^{2}\left(8-a\right)}+3\sqrt[3]{\left(8+a\right)\left(8-a\right)^{2}}+8-\not a

que, usando «diferencia de cuadrados» y reagrupando (te dejo los detalles) nos lleva a

(4) x^{3}-3\sqrt[3]{64-a^{2}}x-16=0

Ahora solo sería cuestión de elegir el número que queremos «complicar», sustituirlo en lugar de la x y resolver para el valor de a… siempre y cuando sea válido el hacerlo.

Discusión

Ciertamente si sustituyes x=1 obtendrás a=3\sqrt{21}, que después de todo de allí partimos, pero a este punto tendrías que notar un pequeño peligro en todo esto: las ecuaciones cúbicas pueden tener hasta tres soluciones. Es decir, tenemos que asegurarnos de que la solución sea única. Pero hay otro problema que afrontaremos primero: para verlo, tenemos que resolver para a en general. Nuevamente, te dejo los detalles

(5) \displaystyle a^{2}=64-\left(\frac{x^{3}-16}{3x}\right)^{3}

Claramente, x no puede ser cero, con 1 ya sabemos que funciona, con x=2 obtenemos

(6) \sqrt[3]{8+\frac{16}{3}\sqrt{\frac{7}{3}}}+\sqrt[3]{8-\frac{16}{3}\sqrt{\frac{7}{3}}}=2

con x=3

(7) \sqrt[3]{8+\frac{35}{27}\sqrt{37}}+\sqrt[3]{8-\frac{35}{27}\sqrt{37}}=3

¡pero cuando llegamos a x=4, a^{2}=0! Esto es un gran problema ya que en este caso la ecuación cúbica con la que cerramos la sección anterior será

(8) x^{3}-12x-16=0

ecuación que tiene dos soluciones reales: x_{1}=4, como ya sabíamos, y x_{2}=-2.

Bueno, podríamos simplemente rechazar esta segunda solución como un resultado espurio producto del método de resolución, pero eso no nos ayudaría mucho ya que llegaríamos simplemente a 4=4, lo que no es muy divertido.

Además… ¡a partir de x=5 llegamos a un a^{2}<0! Dado que estábamos tratando de complicar los números naturales podríamos decir que esto último no es un problema: agregar números imaginarios hace que todo sea más guay. Mira si no esto

(9) \sqrt[3]{8+\mathbf{i}\sqrt{\frac{1079029}{3375}}}+\sqrt[3]{8-\mathbf{i}\sqrt{\frac{1079029}{3375}}}=5

¡Escalofriante! Pero bueno, podrías querer limitarte a los números reales y todavía tenemos que complicar el 4. Te propongo entonces repetir los cálculos con

(10) x=\sqrt[3]{b^{3}+a}+\sqrt[3]{b^{3}-a}

donde b>0, que seguramente llegarás a

(11) x^{3}-3\sqrt[3]{b^{6}-a^{2}}x-2b^{3}=0

y por lo tanto a

(12) \displaystyle a^{2}=b^{6}-\left(\frac{x^{3}-2b^{3}}{3x}\right)^{3}

Con b^{3}=8 ya sabes que puedes llegar hasta x=3, por lo que solo te queda elegir un b lo suficientemente grande como para ir más lejos.

Sí, ya, te preguntarás el motivo de elegir b^{3} en lugar de un tranquilo b. Simplemente hace más clara la respuesta a la otra pregunta que dejamos colgada más arriba: la unicidad de la solución. Cuando tenemos a=0 la ecuación cúbica de más arriba presentaría dos soluciones reales, el valor de x elegido y x=-b, mientras que si es a\neq0 solo tenemos una (las otras dos son imaginarias). Esas cosas que se pueden ver haciendo que la derivada primera sea cero, sustituyendo y magias por el estilo… ya sabes, cálculo diferencial.

En fin, que eligiendo b=3 podemos finalmente escribir

(13) \sqrt[3]{27+\frac{91}{6}\sqrt{\frac{19}{6}}}+\sqrt[3]{27-\frac{91}{6}\sqrt{\frac{19}{6}}}=4

Ahora ya sabes lo que necesitas para «complicar» cualquier número natural. Eso sí, si quieres hacer esto para un número más grande necesitarás una hoja de papel bastante ancha. Por ejemplo, con b=22 puedes escribir

(14) \sqrt[3]{10648+\frac{84736}{189}\sqrt{\frac{1387}{7}}}+\sqrt[3]{10648-\frac{84736}{189}\sqrt{\frac{1387}{7}}}=42

O, también apropiadamente, con b=14

(15) \sqrt[3]{2744+\frac{20320}{39}\sqrt{\frac{547}{39}}}+\sqrt[3]{2744-\frac{20320}{39}\sqrt{\frac{547}{39}}}=26

Y claro, también puedes complicar los mismos números de muchas formas distintas, cambiando el valor de b. Por ejemplo

(16) \sqrt[3]{1+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{7}{3}}}+\sqrt[3]{1-\frac{2}{3}\sqrt{\frac{7}{3}}}=1

Los números tienen estas (y otras) cosas.


Quiero agradecer a la gente detrás del programa Maxima y de su interfaz gráfica wxMaxima como así también a los desarrolladores de Qalculate! (el signo de admiración es parte del nombre): sin la ayuda de estas herramientas los cálculos para este artículo habrían sido igualmente posibles, sí, pero yo no los hubiera hecho.