Tirando nueves al techo: introducción

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Esta semana va de matemáticas (y aniversarios). Veamos, creo que esto dependerá de tu edad, me parece que ahora ya no se enseña, pero ¿recuerdas la «regla del nueve»? Era esa cosa extraña que tenías que hacer para comprobar que una suma estaba bien hecha: sumabas entre sí los dígitos de cada sumando descartando lo acumulado cada vez que llegabas a 9, luego sumabas esas sumas (otra vez descartando grupos que sumaban 9) y si te daba igual a la suma de los dígitos del resultado (sí, descartando nueves) todo estaba bien. Por ejemplo, para comprobar que 11234 + 127 = 11361 descartas el 2, el 3 y el 4 (suman 9) del primer número, el 2 y el 7 del segundo y el 3 y el 6 del resultado para comprobar finalmente que la suma de lo que te queda funciona bien: 2 + 1 = 3. En resumen, si las «sumas reducidas» coinciden, todo está bien.

O casi bien, que como suele pasar en la escuela hay muchas cosas que no te explican.

Ya que estamos con la escuela, ¿recuerdas los criterios de divisibilidad? Había uno de divisibilidad por 3 o 9 que decía que había que sumar los dígitos de un número y que si el resultado era divisible por 3 o por 9, el número original también lo era.

Ahora, una sencilla pregunta. Imagina que viene un matemático y te dice lo siguiente:

Elige 9 números naturales, los que quieras. Te apuesto que soy capaz de encontrar al menos dos de ellos cuya diferencia sea divisible por 8.

¿Aceptarías la apuesta? Yo en tu lugar…

Y por sobre todas las cosas, ¿qué tiene todo esto que ver con relojes extraños con un cero en su punto más alto?

Pues mira, mucho, pero antes de entrar en el asunto tenemos que presentar algunos temas, tantos que el artículo de hoy solo será una introducción cuyo desenlace vendrá en los próximos dos artículos. Ya ves, yo también puedo hacer trilogías.

Veamos, ¿recuerdas eso de encontrar cociente y resto de una división? Por ejemplo, si haces 29 ÷ 8 puedes escribir

\displaystyle \frac{29}{8} = \frac{24 + 5}{8} = \frac{24}{8} + \frac{5}{8} = 3 + \frac{5}{8}

y así podemos decir que «29 dividido 8 da como cociente 3 y como resto 5». Esta operación te parecerá trivial, algo para mantener callados a los peques en la escuela, pero la verdad es que resulta muy importante. Tan importante que no solo programas de álgebra simbólica implementan todo esto, también te lo encuentras en lenguajes de programación como Python: la doble barra te da el cociente y el símbolo % te da el resto

>>> 29 // 8
3
>>> 29 % 8
5

Pero pongámonos más matematiqueros y concentrémonos en el resto, que así lograremos resolver los temas planteados al inicio.

La operación que en Python se escribe con el % en un lenguaje más formal se suele escribir así:

29 mod 8 = 5

Nota: en programas de álgebra simbólica como Maxima suele usarse la notación mod(29,8), mientras que en la calculadora CAS de GeoGebra, siempre atenta al idioma del usuario, tienes que escribir Resto(29,8).

Veamos unos ejemplos de todo esto. Ya sabemos que 29 mod 8 da 5. Ahora bien, claramente 24 mod 8 da cero (24 es divisible por 8 por lo que no queda resto). De la misma forma, 25 mod 8 dará 1 (25 es uno más de un múltiplo de 8)… y así siguiendo hasta 31 mod 8 que da 7. Porque atención: ¡32 mod 8 es nuevamente cero!

Creo que a este punto ya estarás convencido de que la operación N mod k puede dar solamente k resultados distintos, desde cero (N es divisible por k) hasta k – 1 (N es el precedente de un múltiplo de k).

Problemas presentados y operaciones definidas, cierro por hoy este artículo. Pero antes de irme y a modo de cliffhanger presento una imagen de la herramienta que utilizaremos en los próximos artículos para resolver todo: un caso particular de los relojes que nombraba más arriba

¡Nos leemos!