Tirando nueves al techo: las reglas del nueve

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Ya tienes todas las herramientas para entender esto, por lo que no pienso dibujarte otro de los relojes esos, te lo imaginas y ya.

Volvamos a lo nuestro: nos queda demostrar la regla de divisibilidad por nueve y la regla del nueve para la suma.

Empecemos por la divisibilidad por nueve. Era eso de sumar todos los dígitos de un número y si el resultado era divisible por nueve, también el número original lo era.

Para esto, conviene hacer una observación sobre nuestro sistema de numeración decimal. Tomemos un número de cuatro cifras, como el 2345. Siempre podemos escribirlo así:

2 · 1000 + 3 · 100 + 4 · 10 + 5

Pero esto lo podemos también escribir como

2 · (999 + 1) + 3 · (99 + 1) + 4 · (9 + 1) + 5 =

(2 · 999 + 3 · 99 + 4 · 9) + (2 + 3 + 4 + 5)

Ahora bien, en el primer paréntesis, todos los términos son múltiplos de 9 por lo que podemos escribir

(2 · 111 + 3 · 11 + 4) · 9 + (2 + 3 + 4 + 5)

Ahora ya puedes ver el patrón: cualquier número puede ser escrito como algo multiplicado por 9 más la suma de los dígitos del número original

N = (algo) · 9 + (la suma de los dígitos de N)

¿Qué sucede entonces si calculamos N mod 9? Fácil, ¡la parte que es proporcional a 9 se va ya que (un múltiplo de 9) mod 9 = 0 por definición!

En síntesis,

N mod 9 = (suma de los dígitos de N) mod 9

por lo que si la suma de los dígitos de N nos da un número divisible por nueve, el número original también lo será.

Para el último problema, el de la regla del nueve, volvamos a considerar el número 2345.
Por lo que acabamos de ver, sabemos que

2345 mod 9 = (2 + 3 + 4 + 5) mod 9

Ahora ya tienes el ojo entrenado y podrás notar un detalle: ¡4 + 5 da 9, y 9 mod 9 = 0!
Es decir,

2345 mod 9 = (2 + 3 + 4 + 5) mod 9 = (2 + 3) mod 9 = 5

¡Cada vez que juntamos 9, lo tiramos! Solo lo que «nos sobra» nos dará un valor relevante.

Consideremos ahora la suma de tres números A, B y C. La realizamos manualmente y nos da D, pero queremos controlar de alguna forma que no nos hemos equivocado. Sabemos que

A mod 9 = (suma de los dígitos de A, «descartando los nueves»)

Y lo mismo para B, C y D.

Por ejemplo, si fuera A = 2345, tiramos 4 y 5 ya que sumados nos da nueve y nos quedamos con 2 y 3, que sumados nos da 5. Claramente, si nuestra suma estaba bien debe darse que

(A + B + C) mod 9 = D mod 9

¡Y ya llegamos! Por lo que acabamos de ver tiene que darse que

(suma de los dígitos de A con los de B y con los de C, siempre «descartando los nueves») = (suma de los dígitos de D, siempre «descartando los nueves»)

Y aquí tienes la demostración de la famosa regla del nueve utilizando álgebra modular.

Y aquí también tienes la razón por la cual la famosa regla no es infalible: si al hacer la suma te has equivocado justamente en un múltiplo de 9, ¡la prueba ni se entera!

Ejercicio para el lector: construir (¡y demostrar!) la regla del 9 para el producto.


Y aquí llegamos al final de este trío de artículos sobre el nueve.

¿Que a qué viene toda esta locura de nueves, me preguntas?, ¡pues el blog cumple hoy nueve años, por supuesto!

Nos seguimos leyendo en el décimo año.

2 comentarios en “Tirando nueves al techo: las reglas del nueve

  1. Me recordaste un “truco” que me enseñaron de pequeño (mucho tiempo ya):
    Pon tus manos extendidas, a la altura de tu vista, con los pulgares al centro.
    3 x 9 = a bajar el TERCER dedo desde la izquierda, antes de ese dedo son las decenas y luego las unidades…
    Así con cada multiplicando, bajarás el SEXTO para 6 x 9, por ejemplo…
    Una zonzera, pero no todos la conocen.. 😛

    • Sí, es un truco simple y divertido, suelo explicarlo en los cursos de la escuela elemental, es una de las pocas cosas que los peques recuerdan siempre 😉

      Existen trucos con los dedos para tener las otras tablas, pero son tan complicados que es más fácil aprenderlas de memoria y listo 😛

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