Diatriba matemática: la maldita división

Mientras esperamos a ver si la humanidad sobrevive, hoy me lanzo con una diatriba matemática.

Me dice la gente que cada tanto sale en sitios como Twitter una imagen con una expresión aritmética del tipo

5 + 16 ÷ 4 × 2

y que entonces todos enloquecen discutiendo cuál es el resultado correcto. Uno dice que es 13, otro que es 7, nunca falta alguno que proclama un resultado con decimales y aquellos que intentan un chiste estúpido, fallando en el intento. Y yo digo, bueno, es Twitter, qué se puede esperar. Después de todo nadie que tenga un mínimo de formación matemática puede dudar de cuál es la respuesta correcta, ¿verdad?

Resulta que no es verdad: un alumno me mostró los apuntes dejados por su maestro de escuela media donde explícitamente ofrecía el resultado equivocado. ¡Ahhhhhhhhrg!

Mucha gente del mundillo matemático ha entrado a luchar en estas lides, pero hasta donde recuerdo nadie insiste en un punto fundamental que es el que te presento hoy, por lo que aquí vamos: te contaré cuál es el verdadero problema, porqué toda solución implica cierta arbitrariedad dictada por la vagancia y porqué la solución elegida es la que es y está bien que así sea.

+, –, × y ÷ son operaciones binarias

Esto es importante: algo que siempre tienes que mantener bien presente en tu mente cuando se realizan operaciones aritméticas o de álgebra es que cada operación que ves en ella solo actúa entre dos números.

Sí, solo dos: si hay más números, tienes que ir de a pares.

Esto es así siempre: tomas un número y lo sumas, multiplicas o lo que sea por otro. 2 + 3 es claro cuánto da, y también es claro que da lo mismo que hacer 3 + 2, que la suma (y el producto) es conmutativa. Pero ni bien tienes 2 + 3 + 4 allí debes decir qué estás haciendo: las expresiones que tienen más de una operación implícitamente están utilizando alguna convención para elegir cuál es el par que debes hacer primero.

Mayormente. Porque sí, en 2 + 3 + 4 da igual que primero hagas 2 + 3 y luego al resultado sumes 4, o que hagas 3 + 4 y al resultado sumes dos: la suma (y el producto), es asociativa. Y por supuesto la propiedad asociativa junto a la conmutativa hace que también de igual que cambies el orden y hagas primero 2 + 4 y luego agregues 3. Justamente es por todo esto que no decimos nada y que si tenemos solo sumas (o solo productos) simplemente escribimos 2 + 3 + 4, que al final da igual cómo lo hagas. Lo mismo sucede con el producto: en 2×3×4 da igual si haces primero 2×3 y luego multiplicas el resultado por 4, o 3×4 y luego multiplicas por 2, o…

El problema empieza cuando comienzas a mezclar operaciones diferentes. ¿Qué significa 2 + 3×4?

Aquí tenemos dos opciones, la indiscutible, pero pesada, o la simple, pero que puede llevar a confusión. Spoiler Alert: siempre se elige la segunda.

La opción indiscutible es utilizar paréntesis anidados, insistiendo en ir «desde dentro hacia fuera». [ 2 + ( 3×4 ) ] significa que primero haces 3×4 y luego 2 + el resultado anterior, obteniendo como gran resultado final 14. Esto por supuesto es diferente de hacer [ ( 2 + 3 )×4 ], donde primero haces 2 + 3 y al resultado lo multiplicas por 4 para obtener 20.

Por supuesto escribir tanto paréntesis es incómodo, por lo que cedemos a la pachorra y agregamos otra regla: las precedencias. Decimos que el producto es «más importante» que la suma, que esta última separa «términos» que deben calcularse primero y que solo usamos los paréntesis cuando no hay alternativa. Así para [ 2 + ( 3×4 ) ] escribimos simplemente 2 + 3×4 ya que la precedencia me dice con total claridad que debo hacer primero el producto y luego la suma, mientras que si quisiera hacer primero la suma y luego el producto no tendría otra alternativa que escribir ( 2 + 3 )×4.

Todo claro y simple, ahorrando de paso escritura, que imprimir tanto paréntesis no es ecológico.

El problema, claro está, se da con las otras dos operaciones.

Los malditos – y ÷

Para empezar, obviamente el – y el ÷ no son operaciones conmutativas: 4 – 2 no da lo mismo que hacer 2 – 4, y ni te cuento con la división. Y es esta característica de no ser conmutativas lo que hace que estas operaciones puedan generar confusión cuando insistes en ahorrarte paréntesis.

Pero por lo general con el – no se suelen dar estos problemas, por algún motivo todo parece ser más claro con él. A lo sumo recurres a la cantilena esa de que + con – da –, – con – da + y esas cosas que todos recordamos, pero que pocos saben explicar… pero no me disperso, mejor lo dejo para otro día.

Volvamos a la expresión inicial. ¿Cómo se interpreta esto?

5 + 16 ÷ 4 × 2

Dejemos de lado el +, que con él la precedencia es clara. Tenemos dos términos, uno a cada lado del +: el solitario 5 y el que combina el ÷ con el ×. Y es en este segundo término, por culpa de la no conmutatividad del ÷, donde surge la innecesaria confusión:

5 + [ ( 16 ÷ 4 ) × 2 ] = 5 + 4×2 = 5 + 8 = 13

5 + [ 16 ÷ ( 4 × 2 ) ] = 5 + [ 16÷8 ] = 5 + 2 = 7

Y allí tienes los dos resultados principales de la discusión de Twitter. Los otros, tanto los que hablan de decimales como los que intentan despacharse con chistes malos solo me inspiran piedad.

Ahora bien, ¿existe alguna forma de extender la regla de la precedencia cuando combinamos producto y división, dejando todo en claro y sin tener que escribir tanto paréntesis? Por supuesto: cuando tienes al menos un ÷ en un término, simplemente te olvidas de la conmutatividad y vas, en ese término, de izquierda a derecha. Así

5 + 16 ÷ 4 × 2

significa «mantengo el 5 en la memoria por un momento, que es otro término, hago 16÷4 (da 4), multiplico el resultado por 2 (da 8) y ahora recuerdo el 5 para hacer 5 + 8, que da finalmente 13».

Si dejamos de lado a esa parte de la población de Twitter que se equivoca (y a ese maestro de la escuela media del que te conté antes), TODO EL MUNDO usa esta convención. Incluso la estúpida calculadora de Android sabe lo que tiene que hacer, tal y como puedes ver en la captura de abajo.

¡Jolín! ¡¿Cuál es entonces el maldito punto que hace que tanta gente siga discutiendo lo que no hay que discutir?!

En fin, a otra cosa, que de lo contrario me sube la presión.

Nos seguimos leyendo. En algún momento.

6 comentarios en “Diatriba matemática: la maldita división

  1. A mí, hace ya demasiados años, me lo explicaron muy sencillo:

    Las operaciones, por orden de preferencia Y DE IZQUIERDA A DERECHA si tienen la misma preferencia.

    Tan sencillo como eso y te quitas todos los problemas de encima.

  2. Pingback: Mathematical diatribe: the cursed division | From Mind to Type

  3. Pingback: Diatriba matematica: la dannata divisione | Il pinguino scrittore

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