En una vieja serie de artículos donde realicé una introducción chapucera a la aritmética modular (1, 2 y 3) demostré, entre otras cosas, el criterio de divisibilidad por nueve: si la suma de los dígitos de un número da un múltiplo de nueve, el número original también será múltiplo de nueve.
Hoy te hablaré (no te preocupes que no usaré esos relojes) de los otros criterios de divisibilidad y te mostraré un truco para «inventarte» los tuyos.
Primero, una observación: en un sistema de numeración en base 10 como el nuestro, siempre puedes escribir un número natural N como una combinación de dos números de la siguiente forma
N = A·10 + B
donde B ≤ 9. Por ejemplo, 172 = 17·10 + 2.
Supongamos que quieres encontrar un test de divisibilidad por un número p. Es decir, quieres un truco para saber si un número N es divisible por p sin hacer la división. Primero tienes que notar que si multiplicas N por un numero k ≠ p, la divisibilidad (o no) por p del resultado no cambia. El truco es entonces elegir k en modo tal que k·10 sea uno más o uno menos de un múltiplo de p.
Supongamos que quieres un criterio para decidir la divisibilidad por 7. Pues bien, si eliges k = 2 tendrás
2·N = A·20 + 2·B = A·(21 – 1) + 2·B = A·21 + 2·B − A
Dado que 21 ya es divisible por 7 (y por 3, ya que estamos), si 2·B − A también es divisible por 7, eso significa que 2·N, y por lo tanto también N, será divisible por 7.
Veamos un ejemplo. Para 182 tendrías que calcular 2·2 − 18 = −14, que sin dudas es divisible por 7 y por lo tanto 182 también lo será. En cambio, 253 no es divisible por 7 ya que 2·3 − 25 = −19, que no es divisible por 7.
Otro ejemplo: la prueba del 13. Supongamos que elegimos k = 4, lo cual nos da k·10 = 40 = 39 + 1. Es decir
4·N = A·40 + 4·B = A·39 + A + 4·B
y esto significa que si A + 4·B es divisible por 13, el número original también lo será.
Aplicando esta última prueba al número 299 tendrías que calcular 29 + 4·9 = 65. Ahora bien, ¿es 65 múltiplo de 13? Por supuesto que lo es, pero imaginemos que no nos acordamos. Simplemente hay que repetir la prueba con el nuevo número: 6 + 4·5 = 26, que es claramente divisible por 13.
Como puedes ver es posible insistir en el test hasta llegar a un número que te resulte cómodo.
Para cerrar este artículo quiero hacerte notar dos cosas. La primera es que puedes tener varios test para el mismo número, o incluso un test que sirva para varios números simultáneamente. Por ejemplo, si tomamos k = 9
9·N = A·90 + 9·B = A·(91 − 1) + 9·B = A·91 + 9·B − A
Pero dado que 91 = 7·13, si 9·B − A es divisible por 7 o por 13 (o por ambos), el número original también lo será.
La segunda cosa que quiero que notes es que el mismo k puede servirte para varios test. Por ejemplo, ya vimos que si k = 2 se puede usar que 20 = 21 − 1, pero claramente también podemos decir que 20 = 19 + 1. Esto significa que hacer 2·B − A te dirá, como ya vimos, si un número es divisible por 7, mientras que 2·B + A te dirá si es divisible por 19.
Te dejo encontrar las pruebas para el 11, el 17, el 23…
Nos leemos en el futuro indefinido.
El Pingüino Tolkiano 