Quizás no lo recuerdes, pero estoy seguro de que en el cole habrás hecho algo parecido al típico ejercicio del que hablaré hoy y que me servirá para introducir las funciones trigonométricas.
Este es el cuarto de la serie de artículos sobre trigonometría, serie que por ahora está así:
Índice de los artículos
- Introducción
- La fórmula de Herón, 1
- La fórmula de Herón 2: el círculo interior
- La sombra de la torre y las funciones trigonométricas (este artículo)
- Sobre los ángulos
- Dando vueltas sobre las definiciones (trigonométricas)
- Buscando una identidad (trigonométrica)
- Dos teoremas que valen por seis
- El todo (trigonométrico) es más que la suma de sus partes (angulares)
- La fórmula de Herón 3, el círculo exterior
- ¡Está lleno de polinomios! Seno, coseno y dos tíos llamados Taylor y Maclaurin
- Llevando las funciones trigonométricas al límite
Si por esas cosas del internet has llegado aquí sin haber leído los artículos anteriores abre una pestaña más de tu navegador y léelos antes de seguir. No te preocupes, te espero.
¿Listo? Bien, allí vamos.
El ejercicio del que hablé al principio va más o menos así. Tienes una torre de la cual quieres conocer su altura. El día está soleado por lo que la sombra de la torre se ve claramente sobre el césped y puedes medir su longitud. También tienes a mano una vara de longitud conocida. Pues bien, ¿cómo procedes a resolver el problema? ¡Usando la sombra de la vara, por supuesto!
La situación puede resumirse en este dibujo, donde el triángulo grande representa la torre y su sombra mientras que el triángulo pequeño representa la vara y su sombra.
La idea es decir que como el Sol se encuentra lejos sus rayos son más o menos paralelos, lo que implica que el ángulo que forma la sombra de la torre con el terreno es el mismo que el ángulo que forma la sombra de la vara. Dado que, además, ambos triángulos tienen un ángulo de 90º podemos decir que son «semejantes» (¿recuerdas el motivo?), lo que se traduce diciendo que un triángulo es una versión a escala del otro. Y el que uno sea una versión a escala del otro implica que lados correspondientes en ambos triángulos respetan la misma proporción. Por ejemplo, si llamamos 
pones los datos que tengas y resuelves para
Ahora bien, dado que estamos ante una expresión algebraica siempre podemos reordenarla, por ejemplo para obtener
que puede parecer una tontera, pero no lo es: ahora a cada lado del igual tenemos un solo triángulo.
Básicamente lo que dice esta última expresión es que el cociente entre las longitudes del cateto vertical y el horizontal dará siempre el mismo valor para todos los triángulos rectángulos semejantes entre sí. Ahora bien, como dijimos al principio ambos triángulos rectángulos semejantes tendrán el mismo ángulo a la base, lo cual quiere decir que dado un ángulo obtienes un único y bien definido valor del cociente entre la altura y la base. Y con esto último llegamos al punto: dada la relación unívoca entre ángulo y cociente, podemos definir una función, la tangente del ángulo
Y esto con qué se come, preguntarás. Pues bien, ahora puedes utilizar tu móvil, pero en mi juventud todavía se usaban tablas con valores de funciones particulares. La más famosa era la tabla de logaritmos, pero también existían tablas de funciones trigonométricas. El punto es que dado un ángulo siempre puedes calcular el valor del cociente que le corresponde, por lo que si tienes la tabla (o el móvil) en realidad no necesitas la vara para calcular la altura de la torre, simplemente mides el ángulo de la sombra con el suelo, calculas la tangente y haces
Ahora bien, hasta aquí hemos usado solo los catetos, pero podemos hacer cocientes con cualquier par de lados del triángulo rectángulo y definir así las tres funciones trigonométricas de base
o con la vieja cancioncilla: «seno es opuesto sobre radio, coseno es adyacente sobre radio y tangente es opuesto sobre adyacente».
Qué pinta aquí el «radio», preguntarás. Lo vemos en una próxima entrada.
En un hipotético futuro artículo quizás discuta la forma en la que se calculaban esas tablas (o aquello que hace tu móvil) para obtener, dado un ángulo, el valor de la función trigonométrica correspondiente, pero por el momento te dejo con el siguiente ejercicio: considera tres triángulos rectángulos particulares, uno donde α sea 45º, otro donde sea 30º y el último donde sea 60º para finalmente calcular el valor exacto (con las raíces cuadradas correspondientes y todo) de las tres funciones trigonométricas en los tres casos.
Pista: en el primer caso tienes un triángulo isósceles donde 
Qué, ¿estás protestando que te dejo ejercicios? Pues ahora te dejo otro más, por molesto. Usa que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º para demostrar las siguientes expresiones.
Nos leemos en el futuro indefinido.
El Pingüino Tolkiano 