Dos teoremas que valen por seis

Y un par de todos esos te van a quedar como ejercicio. Hoy toca hablar de los teoremas del seno y del coseno.

Este es otro artículo de la serie sobre trigonometría, serie que por ahora está así:

Índice de los artículos

Introducción
La fórmula de Herón, 1
La fórmula de Herón 2: el círculo interior
La sombra de la torre y las funciones trigonométricas
Sobre los ángulos
Dando vueltas sobre las definiciones
Buscando una identidad
Dos teoremas que valen por seis (este artículo)
El todo (trigonométrico) es más que la suma de sus partes (angulares)
La fórmula de Herón 3, el círculo exterior
¡Está lleno de polinomios! Seno, coseno y dos tíos llamados Taylor y Maclaurin
Llevando las funciones trigonométricas al límite

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¿Listo? Bien, allí vamos.

Como dije al inicio, hoy le toca el turno a los dos importantes teoremas del seno y del coseno, que como dice el título son mucho más que dos. Pero vayamos por partes.

El más simple de demostrar de los dos teoremas es el primero. Partes de nuestro clásico triángulo,

donde además de los lados y los ángulos he indicado una de las tres alturas, y notas que esa altura puede ser escrita en dos formas diferentes:

$\displaystyle h=b\sin\alpha=a\sin\beta$

Reordenando esto podemos evidentemente llegar a:

$\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}$

Te queda como ejercicio el elegir otra altura (por ejemplo, la relativa al lado b) para completar la expresión:

$\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}$

Otra cosa que debes pensar: ¿cambia en algo la demostración si alguno de los ángulos es obtuso?

Ahora bien, esta relación que suele llamarse «teorema del seno» son en realidad tres relaciones: primero con segundo, segundo con tercero, primero con tercero. Ya tenemos la mitad de nuestros teoremas.

Para el teorema del coseno, siempre pensando al triángulo de arriba, solo tienes que darte cuenta de lo siguiente: