«Fandom», «haters» y el sesgo de confirmación

Pues que sí, que hoy tenemos otra diatriba: en una entrada anterior me había quedado pendiente el hablar mal de los fanáticos de Tolkien, ¿recuerdas?


Creo que a esta altura del siglo y del blog puedo dar por supuesto que tienes, estimado lector, al menos una idea de lo que sucede cuando Frodo logra finalmente llegar al borde de las Grietas del Destino: no es capaz de dejar ir su Carga, por lo que sin la involuntaria intervención de Gollum, y la voluntaria acción de Ilúvatar, el Anillo Único no habría sido destruido.

Pues bien, hace unos meses (¿o años?, no recuerdo) pasó por mi pantalla un extenso artículo de un «fan» de Tolkien. El columnista argumentaba, con abrumador lujo de detalles y citaciones, que en realidad Frodo no había fracasado. Llamaba como testigos de su conclusión a San Agustín, la biblia, los más variados textos filosóficos (incluyendo algún texto budista, si no recuerdo mal) e incluso una particular carta escrita por el propio Tolkien.

Un trabajo de investigación y preparación impresionante, sin lugar a dudas. Lastima que en esa mismísima y famosa carta (y en muchas otras, que lo dijo varias veces) el propio Tolkien escribiera, de su puño y letra y sin dejar lugar a dudas, no solo que Frodo había fracasado, sino que ese fracaso era inevitable y que su realización ya resultaba clara mucho antes de ese punto culminante de la historia.

Lo que me lleva entonces a escribir este artículo no son las sumamente interesantes cuestiones filosóficas que la escena frente a las Grietas del Destino pueda inspirar, lo que me impulsa a padecer sobre el teclado es la acción de un individuo con una idea fija que llega al punto de negar la opinión, y la autoridad, del autor de una obra para así defender su propia y absurda interpretación.

¿El motivo? El sesgo de confirmación, por supuesto. La idea elegida como «buena» por una persona termina siendo más importante que su eventual (falta de) verdad y cualquier cosa que hable de ella, aunque sea indirectamente, aunque sea en remota apariencia, será vista desde el preciso ángulo que la haga parecer que soporta la postura preconcebida.

Hay dos motivos que me impiden enlazar al mencionado artículo. Uno es que no quiero darle publicidad al cabezotas ese, pero el más importante, y triste, es que no resulta un caso único o tan siquiera ejemplar: se da por todas partes y en todo momento, tanto en la obra de Tolkien (las absurdas discusiones sobre las alas del Balrog, armaduras de placas en la Tierra Media, las orejas de los elfos o su color de piel, etc.) como en otras ficciones o incluso en otras realidades.

Claramente el sesgo de confirmación también se puede dar, y de hecho se da, en forma negativa: no solo es utilizado por nuestras débiles mentes humanas para sostener lo insostenible, también sirve para atacar lo inatacable. No importa que entre los peores villanos de la primera edad destaquen los vengativos Fëanor y sus hijos o el traidor Maeglin, todos ellos muy élficos y de piel y ojos muy claros, no importa que los verdaderos culpables de todo lo malo que sucede en la segunda edad no sean tanto Sauron y sus seguidores como los elfos de Celebrimbor y la gente corrupta de Númenor, no importa que uno de los villanos por excelencia de la tercera edad sea un hombre blanco, de pelo blanco y que se identifica con una mano blanca como es Saruman, no importa que Tolkien describa a los Hobbits, verdaderos héroes de la historia, como gente de piel más oscura que los otros pueblos, no interesa que cada vez que un personaje muestra actitudes racistas siempre termine siendo castigado (desde Thingol en la primera edad hasta Boromir en la tercera, pasando por las guerras de sucesión en Gondor e incluso por algún que otro orco que es víctima del subordinado al que estaba maltratando)… nada de eso importa para aquellos que decidieron acusar a Tolkien de racismo ya antes de leerlo y que sacarán de contexto y tergiversarán cualquier frase que sirva, al menos a sus propios oídos, a justificar la posición injustificable.

Y mejor no entremos en el tema de los que niegan el cambio climático y las vacunas, los que hablan de conspiraciones de todo tipo (los que sospechan del proyecto Apolo, los defensores de la Tierra plana, la lista es interminable) o los que se creen moralmente superiores a los demás solo porque así lo dice su libro de cabecera (y esto va no solo para los creyentes fanáticos: los ateos fanáticos también son insufribles), que ahí si que me pongo de mal humor.

Ya lo he dicho otras veces: me parece que el título de Homo Sapiens Sapiens le queda un tanto grande a nuestra especie. Quizás tendríamos que inventar otro y decir, si vamos a hacerle caso a los traductores de latín en línea que he consultado, algo así como Homo qui non agnoscis suum Biases: el humano que no reconoce sus propios prejuicios.


Si tienes un latinajo más apropiado, ¡compártelo en los comentarios!

Porque la tradición lo manda

El ser humano es un animal de costumbres, decía mi abuela a cada rato.

Ya está terminando diciembre por lo que este pingüino se toma la tradicional pausa de reuniones, brindis, chocolate caliente y esas cosas que se hacen para las fiestas.

Ahora que me acuerdo, tengo que cambiarle la pila a la balanza… En fin. Cierro el artículo con una foto «de estación»:

La Piazza Volta, en la ciudad de Como, iluminada para las fiestas

¡Nos leemos en enero!

Perseo

Vista nocturna del Perseo con la testa di Medusa, de Benvenuto Cellini. La obra se encuentra en la Loggia della Signoria (también llamada Loggia dei Lanzi), en Florencia. En el fondo de la imagen se puede ver el Palazzo Vecchio y un rincón de la Piazza della Signoria, con la reproducción (el original se encuentra en la Galleria dell’Accademia) del David de Michelangelo Buonarroti y el Ercole e Caco de Baccio Bandinelli (este último en original)

Esta escultura (no así su pedestal, que se encuentra en el museo del Bargello) y el ratto delle Sabine del Giambologna son las únicas que aún se encuentran en la posición para las que fueron originalmente concebidas.

La impactante escultura del Giambologna te la muestro otro día…

Markor: Tomar notas en el teléfono

Hoy también tenemos un artículo «fuera de programa» 😉

¿Nunca te ha sucedido que estabas viajando en el tren y se te ocurre esa gran idea que no quieres perder, pero no tienes dónde anotarla? A mi tampoco. De grandes ideas, ni idea. Pero como diría mi amigo Mauricio, a falta de grandes ideas me quedo con las ideas normales que alguna funcionará.

En fin, idea grande o idea normal la cuestión es que hay que anotar lo que hemos pensado antes de olvidarlo. ¿Cuál es la mejor forma de hacerlo, siempre quedando en el software libre?

El teléfono me ha venido con una aplicación llamada «samsung notes» que funciona muy bien y es muy simple de utilizar, pero que tiene la gran pega de encerrarse un formato de archivo privativo que nadie entiende. Es posible exportar a formato docx desde allí, pero… en fin, prefiero evitarlo.

Luego de dirigirme al asombroso fediverso en busca de consejo, el usuario Emanuel me sugirió probar con la aplicación de la cual hablaré en este artículo:

Markor | Text editor – Notes & ToDo (for Android)

Con licencia Apache 2.0, Markor es un completo editor de texto enriquecido en formato Markup  que acepta archivos adjuntos (imágenes y audio), campos de fecha, listas «por hacer», escribir expresiones en LATEX, etc. Con resaltado de sintaxis y una vista preliminar que muestra el documento perfectamente formateado, la aplicación puede utilizarse sin conexión a internet y permite compartir las notas de varias formas, incluyendo el enviarlas por correo electrónico ya sea como un archivo .md, como texto html o texto plano. He aquí la criatura en funcionamiento:

 

 

 

 

 

La opción de crear expresiones matemáticas hay que activarla en la configuración de la aplicación.

Si luego quieres seguir trabajando en tu idea en la computadora, tomas el archivo .md que te has enviado a ti mismo y… bueno, lo que sigue depende de tu modalidad de trabajo.

Si usas formato markdown en tu editor favorito o en tu sitio WordPress, ya estás listo, pero si quieres utilizar Writer para seguir escribiendo tendrás que recurrir a otras herramientas como Pandoc. Escribiendo en el terminal

pandoc archivo-origen.md -f markdown -t odt -s -o resultado.odt

obtendrás un archivo odt bastante bien construido, pero no perfecto.

Por una parte usa correctamente estilos como «título #» para los títulos y «cuerpo de texto» para la parte principal del documento, mientras que la expresión matemática se ha convertido casi correctamente. Los problemas: el idioma está en inglés, las fuentes no van bien (Arial y Times New Roman, ¿pero es que alguien las sigue utilizando?) y un par de estilos espurios han sido creados. De hecho, sobre todos los primeros párrafos a continuación de un título se ha aplicado un estilo de párrafo llamado «First paragraph» mientras que un estilo de carácter «Source_Text» es utilizado para los fragmentos de código que hemos introducido. Pero nada de esto debería ser un gran problema. Por ejemplo, reemplazar los estilos de párrafo raros por otros normales es simple en Writer:

Reemplazar el estilo de carácter ya lleva un poco más de trabajo, pero tampoco tanto. Después de todo no creo que escribas miles de palabras en tu teléfono. Además, tienes cierto libro para ayudarte a administrar los estilos y corregir cosas como el idioma y demás.

De hecho, dado que la conversión utiliza mayormente estilos de párrafo estándar, una vez que has sustituido esos pocos estilos particulares solo tienes que copiar y pegar el contenido a un documento nuevo, que la definición de los estilos que se usará será la del documento de destino.

Copias, pegas y ya tienes todo perfectamente formateado según tu plantilla favorita.

¡Ya no hay excusas! ¡Allí está tu idea, bien anotada, ahora úsala!

LyX: otro ejemplo del uso del paquete caption

En el capítulo 14 de mi libro sobre LYX comento algunos ejemplos de uso del paquete caption que permite configurar las leyendas de figuras y tablas, que son cuadros, en fin, tablas.

Siguiendo una pregunta de un lector, hoy quiero comentar cómo agregar una línea debajo de las leyendas de las figuras. La idea es simple: agregar la instrucción \hrulefill como sigue

\usepackage{caption}

\DeclareCaptionFormat{miformato}{#1#2#3\hrulefill}
\captionsetup[figure]{format=miformato}

Supongamos ahora que queremos modificar esta línea para que sea de un color particular y más «gruesa»:

\usepackage{xcolor}
\definecolor{rojito}{rgb}{.8,.2,.1}

\usepackage{caption}

\DeclareCaptionFormat{miformato}{#1#2#3\color{rojito}
    \def\hrulefill{\leavevmode\leaders\hrule 
        height 2pt\hfill\kern\z@}\hrulefill}
\captionsetup[figure]{format=miformato}

Por supuesto, esto se puede combinar con lo que cuento en el libro. Te dejo con los detalles 😉


El monstruo infinito, 2: ¿qué tan grande es el infinito?

Además de celebrar el octavo año de esta pingüinera (¡fue ayer!), hoy cerramos el tema que comenzamos la semana pasada. Asegúrate de leer el artículo anterior antes de comenzar con este, que lo que allí se discute es importante para comprender lo que sigue.

Allá vamos.

Medir el infinito

Si definimos un conjunto que sea «sillas en una habitación» podremos fácilmente definir su cardinal, es decir, el número de elementos que el conjunto contiene. Si el cardinal de un conjunto es 2 y el de otro resulta 4, rápidamente podremos decir cuál conjunto «es más grande».

Ahora bien, ¿cómo hacemos esto con conjuntos que tienen infinitos elementos como los números?

Has un esfuerzo de memoria, que seguro lo has visto: «hay tantos números pares como números naturales». De hecho podremos decir que hay tantos números primos como números naturales. Simplemente pones los números en dos columnas y asocias los de una columna con los de otra: si puedes hacer una relación uno a uno entre ambos conjuntos sin olvidarte ningún elemento, decimos que ambos conjuntos tienen «el mismo cardinal»

1 → 2

2 → 3

3 → 5

4 → 7

5 → 11

6 → 13

y así siguiendo infinitamente. Por lo que sí, el cardinal de los números enteros es igual al cardinal de un subconjunto de los mimos como los números primos. Las cosas que pasan cuando tienes conjuntos infinitos. En esta forma de comparar conjuntos infinitos trabajó un señor llamado Georg Cantor, por si te da curiosidad y quieres sumergirte en la wikipedia (buscar enlaces de todo esto te queda como ejercicio: no te quejes, que no te estoy dando para hacer cálculos).

El truco puede extenderse para demostrar (te lo dejo como otro ejercicio, por protestar) que el conjunto de los racionales ℚ también tiene el mismo cardinal que ℕ. Es decir, aunque no lo parezca hay tantas fracciones posibles como números enteros, no más, no menos: ambos conjuntos son «igual de infinitos». ¿Que te resulta extraño? Pues sigue leyendo, que la cosa solo empieza.

El cardinal de los números naturales suele llamarse «aleph cero»: ℵ0. Y sí, como ya te imaginarás existe un «aleph uno», ℵ1, que es más «grande» y corresponde (estoy simplificando mucho el discurso aquí) a la cardinalidad de los números reales ℝ, esos que dijimos están formados por los algebraicos y los trascendentes.

Y es que puede demostrarse que es absolutamente imposible realizar una asociación «uno a uno» entre los naturales y los reales, los reales «siempre sobran» por lo que el conjunto ℝ «es más grande» que el conjunto ℕ. ¿Cómo? Pues con el «argumento de la diagonal de Cantor».

Primero tienes que demostrar, sí, tú, que no voy a hacer todo el trabajo por ti, que la cardinalidad del segmento que va del 0 al 1 es igual a la de todos los reales (pista: piensa en una función como la tangente). Hecho esto, comienzas una «demostración por reducción al absurdo».

El procedimiento es el siguiente: supones que los números reales entre 0 y 1 pueden ser numerados, es decir, que puedes escribir una lista completa de ellos. Pues bien, ahora construyes un nuevo número tomando, para el primer dígito decimal, un número diferente del primer dígito decimal del primer número en la lista, para el segundo dígito decimal del nuevo número, tomas un número diferente del segundo dígito decimal del segundo número de la lista… y así infinitamente. ¡De esta forma habrás construido un nuevo numero que es diferente a todos los números de la lista! ¡La lista no era completa!

Pues bien, demostrado esto tenemos ante nosotros el ℵ0 y el ℵ1, que son diferentes. Aquí tampoco tienes que preocuparte ya que no entraré en el tema de la jerarquía de infinitos o la hipótesis del continuo, temas que nos dejarían a un paso de los problemas de indecibilidad, el axioma de selección y… en fin, mejor no.

Ahora bien, te hago una pregunta tramposa: ¿te imaginas cuál es la cardinalidad de los números algebraicos?

Pues resulta ser ℵ0.

Exacto: \sqrt{2},~\sqrt[3]{5} y todos los números de esa especie que en la escuela eran el ejemplo por excelencia de los números reales resultan ser parte de un conjunto que tiene la misma cardinalidad de los modestos naturales.

La demostración es bien simple: construyes una tabla donde en la primera columna vas pasando por todos los polinomios a coeficientes enteros, en la segunda pones los ceros de esos polinomios y en la tercera los números naturales: relación uno a uno, igual cardinalidad.

Bueno, pensarás, es cuestión de agregar π y todos sus amigos, que así ya tenemos nuestro cardinal ℵ1, ¿verdad?

¡No tan rápido! No tan rápido.

Los números calculables… y los otros

Lo que sigue es algo que se le ocurrió a un tal señor Alan Turing, por si quieres profundizar.

Números como π, e, \ln(2) y parientes son números que, si bien trascendentes, sabemos cómo calcular. De hecho, hace unos años publiqué un artículo sobre cómo calcular π «al estilo de Arquímedes», ¿recuerdas? ¿No? En fin. Ahora bien, piensa un momento, ¿qué significa calcular un número?

Ya sea que lo hagamos a mano o le dejemos la ingrata tarea a una computadora, calcular un número particular implica desarrollar un algoritmo, una lista de instrucciones… y aquí ya tendrías que comenzar a sospechar algo.

Definamos el conjunto de todos los algoritmos posibles. Dado que cada algoritmo no es más que una lista de instrucciones, podremos simplemente hacer una lista numerada de algoritmos: tienes el primer, el segundo… el millonésimo algoritmo, uno de ellos te calcula π, pero no puedes tener el algoritmo número π.

Es decir, dado que puedes hacer una lista con los algoritmos, puedes asociar cada uno de ellos a un único número natural, y eso quiere decir que el cardinal de los números que podemos calcular también es0. El cardinal del conjunto de los números calculables es igual al cardinal de los números naturales.

Exacto: todo esto significa que la enorme, abrumadora, monstruosa mayoría de los números reales no pueden, ni podrán jamás, ser calculados. Están allí, sabemos de su existencia, pero no podemos verlos, acceder a ellos o saber cómo son.

El conjunto de los números reales es un monstruo infinito… y fascinante.


Complemento

Luego de escribir estas dos entradas (el primer borrador creo que lo hice en marzo) descubrí un muy buen canal de youtube llamado Lemniscata, y en él el siguiente vídeo que trata en forma muy entretenida una parte de lo que hemos discutido aquí:

El monstruo infinito, 1: «¡está lleno de números!»

La semana que viene el blog cumplirá 8 años, por lo que me puse a pensar en algo divertido para decir sobre el número 8. Como te imaginarás, no encontré nada (2 al cubo, qué se puede decir, bien aburrido) por lo que mi mente comenzó a dispersarse y a dar tantas vueltas que caí en una cadena de asociaciones que me llevó a escribir sobre todos los números. Sí, todos, que así soy yo. Por lo que ya sabes: ajustate el cinturón de seguridad que en este artículo y en el próximo vamos a hablar de números, conjuntos e infinitos.

Y de un monstruo, sí, también de eso.

Más precisamente quiero mostrarte el motivo por el cual los números reales forman un conjunto monstruoso… y fascinante. Para esto tendremos que tocar unos cuantos temas, pero no te preocupes que no tendrás que hacer cuentas y el viaje es, creo yo, muy interesante.

Los números de toda la vida, y algunos otros

Todo comienza con los números naturales, los «números de contar» de toda la vida: 1, 2, 3… No voy a entrar en la discusión de si el cero es natural o no (aunque lo usaremos como si lo fuera) y menos aún de si es par o no, o que si la definición axiomática de Peano o de quien quieras. Nada de eso. Lo importante es que tenemos los números naturales, el conjunto ℕ, y una operación definida entre ellos, la adición. Generalizando la adición podemos definir el producto y de invertir suma y producto podemos definir diferencia y división.

De tratar de dar sentido a las operaciones de diferencia y división es que generalizamos los números para obtener los enteros ℤ (agregar los negativos a ℕ) y los racionales ℚ (agregar las fracciones).

Hasta aquí todo bien y consistente. Pero solo hasta aquí, que cuando generalizamos el producto para crear las potencias y luego invertimos las potencias para crear las raíces (cuadradas, cúbicas, las que hagan falta) todo comienza a complicarse, incluso si solo nos dedicamos a considerar las raíces de los números positivos.

Y es justo en estas «complejidades» donde la didáctica numérica suele perder un poco el rumbo: en las escuelas nos dicen cosas como que de las raíces de ciertos números, por ejemplo los números primos, nos dan los irracionales (aquellos números que no pueden ser escritos como fracciones) y que el conjunto formado por los racionales y los irracionales nos da el conjunto de los números reales ℝ.

A ver, un momento, que el conjunto de los números irracionales es mucho, pero MUCHO más grande que el conjunto de «las raíces de ciertos números». Podríamos incluso decir que es monstruosamente más grande… ya llegaremos a eso.

Números algebraicos y números trascendentes

¿Recuerdas qué son los polinomios? ¿No? En fin. Empecemos entonces con los monomios, que son un tipo de función elemental de la forma a_n x^n, con a_n un número cualquiera, al que llamaremos coeficiente, y n un número perteneciente a ℕ (con el cero), al que llamaremos grado. Si ahora sumas varios monomios, cada uno con un grado distinto, pues tenemos un polinomio.

No voy a entrar en los detalles, no te preocupes, es suficiente que tengas en mente esta idea básica de polinomio y el concepto de «cero de una función». No, no estamos hablando de «cero como en el número cero»: un cero de un polinomio es el valor que tienes que darle a la x para que toda la función dé como resultado el número cero. También se lo llama raíz. Que no, que no es «raíz como en raíz cuadrada»… en fin, las limitaciones del lenguaje.

Ya casi estamos. Si de todos los polinomios posibles nos restringimos ahora a aquellos que tienen coeficientes que pertenecen a los números enteros ℤ podemos comenzar a razonar. Pues bien, el conjunto de todos los ceros de todos los polinomios a coeficientes enteros forman el conjunto de los números algebraicos.

Nota: por simplicidad del discurso hoy vamos a ignorar a los números complejos, por lo que solo tomaremos en consideración los ceros de estos polinomios que pertenecen a ℝ.

Es justo en este punto donde la didáctica matemática suele explicar las cosas un poco mal, porque si bien los números algebraicos incluyen aquellas «raíces de ciertos números» de los que hablamos antes, como \sqrt{2},~\sqrt[3]{5}, etcétera, dejan afuera los números como π.

\ln(2), π, e y otras bellezas por el estilo son números que no pueden expresarse como números algebraicos y por lo tanto vienen llamados números trascendentes. Es la unión de los números algebraicos (no complejos) y de los trascendentes la que nos da finalmente los números reales.

¿Que porqué es esto importante? Bueno, para verlo primero tenemos que hablar de otro concepto fundamental, pero el artículo de hoy está quedando ya demasiado largo.

Seguimos en el próximo.