Complicando números

El artículo de hoy va de «matemáticas solo por diversión», por lo que ya sabes: sigue bajo tu propia responsabilidad.

Y ya que estamos, cada vez que encuentres en el artículo la palabra «real» o alguna de sus variantes me estoy refiriendo a los números reales ℝ, no a que algo «sea verdadero» o cosas así, que hoy no quiero entrar en temas filosóficos.

Introducción

Hace unos meses, bueno, casi un año, me crucé con el siguiente vídeo que muestra un divertido resultado matemático

Por si no te va el inglés, te muestro solo la sorprendente conclusión final:

(1) \sqrt[3]{8+3\sqrt{21}}+\sqrt[3]{8-3\sqrt{21}}=1

Nota: Si tratas de calcular la expresión utilizando Qalculate!, Octave o incluso Wolfram Alpha, ten cuidado de utilizar la raíz cúbica (cbrt(expresión) o root(expresión;3)) y no un exponente fraccionario, ya que los exponentes fraccionarios dan el «valor principal de la raíz»(1) en lugar de la solución real, y eso se nota cuando tomas raíces de números negativos. Es decir, root(-8;3) = cbrt(-8) = -2, pero si escribes (-8)^(1/3) obtendrás algo diferente: la evaluación de 2 eiπ/3


(1) La raíz n-ésima da exactamente n cantidades complejas, todas ellas sobre un círculo: la primera desde el eje x en sentido antihorario es el «valor principal»

Pues sí, todas esas raíces anidadas y sumadas dan un número entero, incluso si algunas de sus partes son claramente irracionales como lo es \sqrt{21}, ¿cómo es esto posible?

Bueno, tranquilos, que en realidad no es tan raro: la segunda raíz es un número negativo y por la propia simetría de la expresión tenemos que las partes decimales de ambas raíces coinciden, con lo cual terminan cancelándose.

Ahora bien, si te gusta jugar con problemas matemáticos independientemente de si son útiles o no (y espero que así sea, que de lo contrario este artículo te resultará pesado), podrías preguntarte, como yo lo he hecho, ¿existe un modo de complicar cualquier número, no solo el 1?

El método

Siempre podemos generalizar la idea utilizada en el vídeo para calcular el número original. Por ejemplo, podríamos reemplazar 3\sqrt{21} con un número genérico a y llamar a la expresión x:

(2) x=\sqrt[3]{8+a}+\sqrt[3]{8-a}

Ahora solo tenemos que elevar todo al cubo y desarrollar la expresión

(3) x^{3}=8+\not a+3\sqrt[3]{\left(8+a\right)^{2}\left(8-a\right)}+3\sqrt[3]{\left(8+a\right)\left(8-a\right)^{2}}+8-\not a

que, usando «diferencia de cuadrados» y reagrupando (te dejo los detalles) nos lleva a

(4) x^{3}-3\sqrt[3]{64-a^{2}}x-16=0

Ahora solo sería cuestión de elegir el número que queremos «complicar», sustituirlo en lugar de la x y resolver para el valor de a… siempre y cuando sea válido el hacerlo.

Discusión

Ciertamente si sustituyes x=1 obtendrás a=3\sqrt{21}, que después de todo de allí partimos, pero a este punto tendrías que notar un pequeño peligro en todo esto: las ecuaciones cúbicas pueden tener hasta tres soluciones. Es decir, tenemos que asegurarnos de que la solución sea única. Pero hay otro problema que afrontaremos primero: para verlo, tenemos que resolver para a en general. Nuevamente, te dejo los detalles

(5) \displaystyle a^{2}=64-\left(\frac{x^{3}-16}{3x}\right)^{3}

Claramente, x no puede ser cero, con 1 ya sabemos que funciona, con x=2 obtenemos

(6) \sqrt[3]{8+\frac{16}{3}\sqrt{\frac{7}{3}}}+\sqrt[3]{8-\frac{16}{3}\sqrt{\frac{7}{3}}}=2

con x=3

(7) \sqrt[3]{8+\frac{35}{27}\sqrt{37}}+\sqrt[3]{8-\frac{35}{27}\sqrt{37}}=3

¡pero cuando llegamos a x=4, a^{2}=0! Esto es un gran problema ya que en este caso la ecuación cúbica con la que cerramos la sección anterior será

(8) x^{3}-12x-16=0

ecuación que tiene dos soluciones reales: x_{1}=4, como ya sabíamos, y x_{2}=-2.

Bueno, podríamos simplemente rechazar esta segunda solución como un resultado espurio producto del método de resolución, pero eso no nos ayudaría mucho ya que llegaríamos simplemente a 4=4, lo que no es muy divertido.

Además… ¡a partir de x=5 llegamos a un a^{2}<0! Dado que estábamos tratando de complicar los números naturales podríamos decir que esto último no es un problema: agregar números imaginarios hace que todo sea más guay. Mira si no esto

(9) \sqrt[3]{8+\mathbf{i}\sqrt{\frac{1079029}{3375}}}+\sqrt[3]{8-\mathbf{i}\sqrt{\frac{1079029}{3375}}}=5

¡Escalofriante! Pero bueno, podrías querer limitarte a los números reales y todavía tenemos que complicar el 4. Te propongo entonces repetir los cálculos con

(10) x=\sqrt[3]{b^{3}+a}+\sqrt[3]{b^{3}-a}

donde b>0, que seguramente llegarás a

(11) x^{3}-3\sqrt[3]{b^{6}-a^{2}}x-2b^{3}=0

y por lo tanto a

(12) \displaystyle a^{2}=b^{6}-\left(\frac{x^{3}-2b^{3}}{3x}\right)^{3}

Con b^{3}=8 ya sabes que puedes llegar hasta x=3, por lo que solo te queda elegir un b lo suficientemente grande como para ir más lejos.

Sí, ya, te preguntarás el motivo de elegir b^{3} en lugar de un tranquilo b. Simplemente hace más clara la respuesta a la otra pregunta que dejamos colgada más arriba: la unicidad de la solución. Cuando tenemos a=0 la ecuación cúbica de más arriba presentaría dos soluciones reales, el valor de x elegido y x=-b, mientras que si es a\neq0 solo tenemos una (las otras dos son imaginarias). Esas cosas que se pueden ver haciendo que la derivada primera sea cero, sustituyendo y magias por el estilo… ya sabes, cálculo diferencial.

En fin, que eligiendo b=3 podemos finalmente escribir

(13) \sqrt[3]{27+\frac{91}{6}\sqrt{\frac{19}{6}}}+\sqrt[3]{27-\frac{91}{6}\sqrt{\frac{19}{6}}}=4

Ahora ya sabes lo que necesitas para «complicar» cualquier número natural. Eso sí, si quieres hacer esto para un número más grande necesitarás una hoja de papel bastante ancha. Por ejemplo, con b=22 puedes escribir

(14) \sqrt[3]{10648+\frac{84736}{189}\sqrt{\frac{1387}{7}}}+\sqrt[3]{10648-\frac{84736}{189}\sqrt{\frac{1387}{7}}}=42

O, también apropiadamente, con b=14

(15) \sqrt[3]{2744+\frac{20320}{39}\sqrt{\frac{547}{39}}}+\sqrt[3]{2744-\frac{20320}{39}\sqrt{\frac{547}{39}}}=26

Y claro, también puedes complicar los mismos números de muchas formas distintas, cambiando el valor de b. Por ejemplo

(16) \sqrt[3]{1+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{7}{3}}}+\sqrt[3]{1-\frac{2}{3}\sqrt{\frac{7}{3}}}=1

Los números tienen estas (y otras) cosas.


Quiero agradecer a la gente detrás del programa Maxima y de su interfaz gráfica wxMaxima como así también a los desarrolladores de Qalculate! (el signo de admiración es parte del nombre): sin la ayuda de estas herramientas los cálculos para este artículo habrían sido igualmente posibles, sí, pero yo no los hubiera hecho.

Disponible LyX 2.3.4

Empezamos este 2020 en el software libre anunciando que ya está disponible la cuarta actualización de la serie 2.3 de esta magnífica interfaz gráfica para LATEX / XƎTEX.

En esta versión se corrigen varios errores, tanto en la interfaz gráfica como en la documentación y el procesamiento de documentos importados. Todas las novedades están resumidas en el anuncio.

Como siempre, los usuarios de openSUSE ya lo tenemos disponible en el repositorio publishing.

Expresiones Regulares en Writer: propiedades Unicode o cómo buscar texto «todo en mayúsculas»

Supongamos que en un documento Writer tenemos texto parecido a lo siguiente:

Es posible encontrar texto TODO EN MAYÚSCULAS utilizando las «propiedades Unicode de los caracteres»

y que queremos seleccionar solo el texto en mayúsculas. En el menú de buscar y reemplazar activamos la opción de «distinguir mayúsculas y minúsculas», bajo «otras opciones» seleccionamos «expresiones regulares» y en la caja de búsqueda escribimos

(\p{Lu}){2,}

La \p sirve para especificar las «propiedades Unicode de los caracteres», que en este caso son L (Letter, es decir, una letra) y u (uppercase, es decir, mayúsculas).

Como siempre, encuentras más información sobre el sistema de expresiones regulares utilizado por LibreOffice tanto en la documentación del proyecto ICU (no todas las expresiones allí indicadas funcionan en LibreOffice) como en el capítulo dedicado al tema de cierto libro 😉

«Fandom», «haters» y el sesgo de confirmación

Pues que sí, que hoy tenemos otra diatriba: en una entrada anterior me había quedado pendiente el hablar mal de los fanáticos de Tolkien, ¿recuerdas?


Creo que a esta altura del siglo y del blog puedo dar por supuesto que tienes, estimado lector, al menos una idea de lo que sucede cuando Frodo logra finalmente llegar al borde de las Grietas del Destino: no es capaz de dejar ir su Carga, por lo que sin la involuntaria intervención de Gollum, y la voluntaria acción de Ilúvatar, el Anillo Único no habría sido destruido.

Pues bien, hace unos meses (¿o años?, no recuerdo) pasó por mi pantalla un extenso artículo de un «fan» de Tolkien. El columnista argumentaba, con abrumador lujo de detalles y citaciones, que en realidad Frodo no había fracasado. Llamaba como testigos de su conclusión a San Agustín, la biblia, los más variados textos filosóficos (incluyendo algún texto budista, si no recuerdo mal) e incluso una particular carta escrita por el propio Tolkien.

Un trabajo de investigación y preparación impresionante, sin lugar a dudas. Lastima que en esa mismísima y famosa carta (y en muchas otras, que lo dijo varias veces) el propio Tolkien escribiera, de su puño y letra y sin dejar lugar a dudas, no solo que Frodo había fracasado, sino que ese fracaso era inevitable y que su realización ya resultaba clara mucho antes de ese punto culminante de la historia.

Lo que me lleva entonces a escribir este artículo no son las sumamente interesantes cuestiones filosóficas que la escena frente a las Grietas del Destino pueda inspirar, lo que me impulsa a padecer sobre el teclado es la acción de un individuo con una idea fija que llega al punto de negar la opinión, y la autoridad, del autor de una obra para así defender su propia y absurda interpretación.

¿El motivo? El sesgo de confirmación, por supuesto. La idea elegida como «buena» por una persona termina siendo más importante que su eventual (falta de) verdad y cualquier cosa que hable de ella, aunque sea indirectamente, aunque sea en remota apariencia, será vista desde el preciso ángulo que la haga parecer que soporta la postura preconcebida.

Hay dos motivos que me impiden enlazar al mencionado artículo. Uno es que no quiero darle publicidad al cabezotas ese, pero el más importante, y triste, es que no resulta un caso único o tan siquiera ejemplar: se da por todas partes y en todo momento, tanto en la obra de Tolkien (las absurdas discusiones sobre las alas del Balrog, armaduras de placas en la Tierra Media, las orejas de los elfos o su color de piel, etc.) como en otras ficciones o incluso en otras realidades.

Claramente el sesgo de confirmación también se puede dar, y de hecho se da, en forma negativa: no solo es utilizado por nuestras débiles mentes humanas para sostener lo insostenible, también sirve para atacar lo inatacable. No importa que entre los peores villanos de la primera edad destaquen los vengativos Fëanor y sus hijos o el traidor Maeglin, todos ellos muy élficos y de piel y ojos muy claros, no importa que los verdaderos culpables de todo lo malo que sucede en la segunda edad no sean tanto Sauron y sus seguidores como los elfos de Celebrimbor y la gente corrupta de Númenor, no importa que uno de los villanos por excelencia de la tercera edad sea un hombre blanco, de pelo blanco y que se identifica con una mano blanca como es Saruman, no importa que Tolkien describa a los Hobbits, verdaderos héroes de la historia, como gente de piel más oscura que los otros pueblos, no interesa que cada vez que un personaje muestra actitudes racistas siempre termine siendo castigado (desde Thingol en la primera edad hasta Boromir en la tercera, pasando por las guerras de sucesión en Gondor e incluso por algún que otro orco que es víctima del subordinado al que estaba maltratando)… nada de eso importa para aquellos que decidieron acusar a Tolkien de racismo ya antes de leerlo y que sacarán de contexto y tergiversarán cualquier frase que sirva, al menos a sus propios oídos, a justificar la posición injustificable.

Y mejor no entremos en el tema de los que niegan el cambio climático y las vacunas, los que hablan de conspiraciones de todo tipo (los que sospechan del proyecto Apolo, los defensores de la Tierra plana, la lista es interminable) o los que se creen moralmente superiores a los demás solo porque así lo dice su libro de cabecera (y esto va no solo para los creyentes fanáticos: los ateos fanáticos también son insufribles), que ahí si que me pongo de mal humor.

Ya lo he dicho otras veces: me parece que el título de Homo Sapiens Sapiens le queda un tanto grande a nuestra especie. Quizás tendríamos que inventar otro y decir, si vamos a hacerle caso a los traductores de latín en línea que he consultado, algo así como Homo qui non agnoscis suum Biases: el humano que no reconoce sus propios prejuicios.


Si tienes un latinajo más apropiado, ¡compártelo en los comentarios!

Porque la tradición lo manda

El ser humano es un animal de costumbres, decía mi abuela a cada rato.

Ya está terminando diciembre por lo que este pingüino se toma la tradicional pausa de reuniones, brindis, chocolate caliente y esas cosas que se hacen para las fiestas.

Ahora que me acuerdo, tengo que cambiarle la pila a la balanza… En fin. Cierro el artículo con una foto «de estación»:

La Piazza Volta, en la ciudad de Como, iluminada para las fiestas

¡Nos leemos en enero!

Perseo

Vista nocturna del Perseo con la testa di Medusa, de Benvenuto Cellini. La obra se encuentra en la Loggia della Signoria (también llamada Loggia dei Lanzi), en Florencia. En el fondo de la imagen se puede ver el Palazzo Vecchio y un rincón de la Piazza della Signoria, con la reproducción (el original se encuentra en la Galleria dell’Accademia) del David de Michelangelo Buonarroti y el Ercole e Caco de Baccio Bandinelli (este último en original)

Esta escultura (no así su pedestal, que se encuentra en el museo del Bargello) y el ratto delle Sabine del Giambologna son las únicas que aún se encuentran en la posición para las que fueron originalmente concebidas.

La impactante escultura del Giambologna te la muestro otro día…

Markor: Tomar notas en el teléfono

Hoy también tenemos un artículo «fuera de programa» 😉

¿Nunca te ha sucedido que estabas viajando en el tren y se te ocurre esa gran idea que no quieres perder, pero no tienes dónde anotarla? A mi tampoco. De grandes ideas, ni idea. Pero como diría mi amigo Mauricio, a falta de grandes ideas me quedo con las ideas normales que alguna funcionará.

En fin, idea grande o idea normal la cuestión es que hay que anotar lo que hemos pensado antes de olvidarlo. ¿Cuál es la mejor forma de hacerlo, siempre quedando en el software libre?

El teléfono me ha venido con una aplicación llamada «samsung notes» que funciona muy bien y es muy simple de utilizar, pero que tiene la gran pega de encerrarse un formato de archivo privativo que nadie entiende. Es posible exportar a formato docx desde allí, pero… en fin, prefiero evitarlo.

Luego de dirigirme al asombroso fediverso en busca de consejo, el usuario Emanuel me sugirió probar con la aplicación de la cual hablaré en este artículo:

Markor | Text editor – Notes & ToDo (for Android)

Con licencia Apache 2.0, Markor es un completo editor de texto enriquecido en formato Markup  que acepta archivos adjuntos (imágenes y audio), campos de fecha, listas «por hacer», escribir expresiones en LATEX, etc. Con resaltado de sintaxis y una vista preliminar que muestra el documento perfectamente formateado, la aplicación puede utilizarse sin conexión a internet y permite compartir las notas de varias formas, incluyendo el enviarlas por correo electrónico ya sea como un archivo .md, como texto html o texto plano. He aquí la criatura en funcionamiento:

 

 

 

 

 

La opción de crear expresiones matemáticas hay que activarla en la configuración de la aplicación.

Si luego quieres seguir trabajando en tu idea en la computadora, tomas el archivo .md que te has enviado a ti mismo y… bueno, lo que sigue depende de tu modalidad de trabajo.

Si usas formato markdown en tu editor favorito o en tu sitio WordPress, ya estás listo, pero si quieres utilizar Writer para seguir escribiendo tendrás que recurrir a otras herramientas como Pandoc. Escribiendo en el terminal

pandoc archivo-origen.md -f markdown -t odt -s -o resultado.odt

obtendrás un archivo odt bastante bien construido, pero no perfecto.

Por una parte usa correctamente estilos como «título #» para los títulos y «cuerpo de texto» para la parte principal del documento, mientras que la expresión matemática se ha convertido casi correctamente. Los problemas: el idioma está en inglés, las fuentes no van bien (Arial y Times New Roman, ¿pero es que alguien las sigue utilizando?) y un par de estilos espurios han sido creados. De hecho, sobre todos los primeros párrafos a continuación de un título se ha aplicado un estilo de párrafo llamado «First paragraph» mientras que un estilo de carácter «Source_Text» es utilizado para los fragmentos de código que hemos introducido. Pero nada de esto debería ser un gran problema. Por ejemplo, reemplazar los estilos de párrafo raros por otros normales es simple en Writer:

Reemplazar el estilo de carácter ya lleva un poco más de trabajo, pero tampoco tanto. Después de todo no creo que escribas miles de palabras en tu teléfono. Además, tienes cierto libro para ayudarte a administrar los estilos y corregir cosas como el idioma y demás.

De hecho, dado que la conversión utiliza mayormente estilos de párrafo estándar, una vez que has sustituido esos pocos estilos particulares solo tienes que copiar y pegar el contenido a un documento nuevo, que la definición de los estilos que se usará será la del documento de destino.

Copias, pegas y ya tienes todo perfectamente formateado según tu plantilla favorita.

¡Ya no hay excusas! ¡Allí está tu idea, bien anotada, ahora úsala!