Qué son los «cálculos de servilleta»

En inglés son los cálculos «detrás del sobre» (back-of-the-envelope). También se les conoce informalmente como «problemas de Fermi» (otro homenaje al gran Enrico Fermi). Pero más allá del nombre que le demos la idea es hermosamente desafiante: al enfrentarnos a un fenómeno del cual tenemos, como máximo, una sospecha, realizar un «cálculo rápido» lleno de aproximaciones que sin embargo no se aleje demasiado de la realidad. Es decir, ver por dónde van los tiros, pero tratando al mismo tiempo de dar cerca del centro del blanco.

Hoy quiero mostrar un ejemplo práctico (es un modo de decir) de este tipo de cálculos: ver qué tan (poco) realista es la tormenta de viento que da inicio a «El marciano».

Creo que a esta altura ya nadie se va a sorprender si digo cómo comienza «El marciano», la novela de Andy Weir llevada al cine por Ridley Scott: durante una misión de exploración de Marte se desata una terrible tormenta que amenaza tumbar la nave espacial por lo que la misión tiene que ser abortada, no sin antes perder a uno de los astronautas (el protagonista de la historia) que queda varado en el planeta rojo.

La novela está bastante bien y la película tiene un par de méritos, pero ambas se toman ciertas «licencias creativas», la peor de las cuales, desgraciadamente, es justamente la tormenta inicial.

Pero no nos adelantemos.

Cuando comencé a leer el libro la primera pregunta que me hice como físico y espaciotrastornado fue, «considerando que la presión atmosférica de Marte es menor del 1% de la de la Tierra, ¿qué velocidad tendría que tener el viento marciano para lograr el mismo efecto que un viento terrestre?».

Reproduzco aquí el «cálculo de servilleta» que hice en ese momento.

Primero, algunas cosas básicas. Recordarás del instituto que «fuerza es igual a masa por aceleración», y dependiendo de tu profesor/a con un esfuerzo recordarás quizás haber visto pasar alguna variante de «impulso dividido tiempo». Pues bien, la forma correcta de esta última expresión es decir que la fuerza es la derivada en el tiempo de una cantidad física llamada momento lineal p, que puede escribirse como el producto de la masa de un objeto por su velocidad.


Si te pica la curiosidad sobre la relación entre el momento lineal, la fuerza y las tres leyes de Newton puedes darte una vuelta por el blog de los cuentos cuánticos, que el señor Enrique Borja no solo es uno que sabe de lo que habla, también sabe decirlo en forma entretenida.


A lo nuestro:

\displaystyle F = \frac{dp}{dt} \approx \frac{\Delta p}{\Delta t} \propto \mathcal{G} \frac{m v}{\Delta t}

donde \mathcal{G} es un factor donde iremos metiendo todas las complicaciones que no nos interesan por el momento (como el hecho de poner la velocidad y no su variación: después de todo, la variación será una fracción de la velocidad…). Recuerda que queremos una «idea», no el resultado exacto.

La atmósfera de la Tierra es principalmente nitrógeno mientras que la de Marte es esencialmente dióxido de carbono. ¿Recuerdas qué es la masa molar de una molécula o el número de moles? Algún día tengo que ponerme a escribir sobre esos conceptos, pero digamos por ahora que los moles nos dan una forma de contar cuántos elementos hay en una cierta cantidad de materia, mientras que la masa molar nos dice la masa de esos elementos (digamos, las moléculas constituyentes). Pues bien

\displaystyle F \propto \mathcal{G} \frac{m v}{\Delta t} \approx \mathcal{G} \frac{M_{mol} n v}{\Delta t}

Ahora tenemos que recordar la ley de los gases ideales: P V = n R T, donde P es la presión,  V el volumen,  n el número de moles, R una constante y T la temperatura en grados Kelvin (esto es importante), lo cual nos permite escribir

\displaystyle F \propto \mathcal{G} \frac{M_{\text{mol}} n v}{\Delta t} = \mathcal{G} \frac{M_{\text{mol}} P V v}{ R T \Delta t}

Ahora bien, ¿cómo podemos reescribir ese volumen? Si consideramos que el gas, por acción del viento, se mueve para golpear una superficie sobre la cual este viento ejercita una fuerza, podemos pensar que ese volumen está formado por el área de esa superficie y una «altura» dada por la distancia recorrida por las partes más lejanas del gas que son capaces de golpear la superficie en el tiempo que estamos considerando. Es decir

\displaystyle V \approx A v \Delta t

Nuevamente nos estamos saltando algunas «cuestiones geométricas», pero para eso tenemos el factor \mathcal{G}. En fin, que todo esto nos da

\displaystyle F \propto \mathcal{G} \frac{M_{\text{mol}} P V v}{ R T \Delta t} \propto \mathcal{G} \frac{M_{\text{mol}} P v \Delta t v}{ R T \Delta t} = \mathcal{G'} \frac{M_{\text{mol}} P A v^2}{T}

donde en la última igualdad he simplificado lo que había que simplificar y he metido todas las constantes que no me interesan en el «factor geométrico».

Ahora toca el último paso: decir que este factor geométrico es más o menos el mismo para las atmósferas de la Tierra y de Marte, poner índices apropiados para diferenciar la Tierra de Marte e igualar las expresiones resultantes… te dejo como ejercicio el ver que

\displaystyle v^{\text{Marte}}\approx\sqrt{\frac{M_{\text{mol}}^{\text{Tierra}}}{M_{\text{mol}}^{\text{Marte}}}\frac{P^{\text{Tierra}}}{P^{\text{Marte}}}\frac{T^{\text{Marte}}}{T^{\text{Tierra}}}}\cdot v^{\text{Tierra}}

También te dejo como tarea el buscar los valores típicos para las variables y jugar con los números. A mi me da que para tener el mismo efecto que en la Tierra, un viento en Marte debería ir entre 7,7 (siendo muy optimista) y 12 veces más rápido que en la Tierra. Es decir, para tener los mismos efectos de un tornado en la tierra (vientos de unos 100 \frac{km}{h}) un viento en Marte tendría que ir entre 770\frac{km}{h} y 1200\frac{km}{h}… con lo que va a ser que no, especialmente considerando que los vientos más rápidos que puede dar Marte no pasan de los 95\frac{km}{h} (60\frac{millas}{h} en el artículo original).

Claramente, tarde o temprano las cuentas hay que hacerlas bien, pero estos cálculos preliminares, el análisis dimensional y otros «trucos sucios» de este estilo siempre resultan útiles para el planteo inicial de un problema. De hecho, buscando un poco por la red (por ejemplo, aquí y aquí) todos parecen concordar con un factor 10 de diferencia.

¡La física es muy divertida!

Es verdad, no es una servilleta. Es muy difícil escribir en servilletas. Tampoco es un sobre. Y sí, la foto es horrible. Estas cámaras de los móviles.

Anuncios

Usar constantes físicas en (wx)Maxima

En una entrada anterior vimos cómo utilizar unidades de medida en wxMaxima gracias al paquete unit. En este artículo veremos cómo manejar constantes físicas.

Primero que nada debemos cargar unit de la forma ya comentada

load(unit)

y luego presionar Mayúscula-Intro. Ahora es el turno de cargar el paquete que nos ofrece la lista de constantes físicas

load (physical_constants)

Ya estamos listos. Las constantes se nombran con al menos un signo % delante. Por ejemplo %c es la velocidad de la luz en el vacío, %%e (con doble %) la carga fundamental del electrón… La lista de constantes disponibles puede obtenerse con

propvars (physical_constant)

Es importante notar que wxMaxima da formato a los subíndices (guión bajo) y superíndices (acento circunflejo), por lo que si en la lista vemos hbar para representar ℏ, la constante de Planck dividida por 2π, cuando tengamos que utilizarla tendremos que escribir h_bar.

Ahora bien, la instrucción anterior nos da solo la lista de símbolos, para saber qué representan estos podemos utilizar

get (%h_bar, description)

que nos dará

Planck constant $h/2\pi$

Este paquete mantiene la representación de la constante como su símbolo y no como su valor hasta tanto no le indiquemos de evaluarlo, por lo tanto si ejecutamos

%c*2*s

obtendremos

2 %c s

pero si ejecutamos

constvalue (%c*2*s)

obtendremos

599584916*s ` m/s

Que, como notará el lector, no ha simplificado las unidades. Pero siempre podemos escribir

% ``m

para convertir la entrada anterior a metros, obteniendo

599584916 ` m

Todo esto puede hacerse en un única línea. Por ejemplo

constvalue(1*kg*%c^2) ``J

nos dará

89875517873681764 ` J

en lugar de kg ` m^2/s^2. Por supuesto podemos utilizar prefijos, como kJ, nm, etcétera. Como siempre en wxMaxima podemos llamar a una línea anterior en lugar de copiar todo el cálculo.

Todo listo.

ConvertAll, el más versátil convertidor de unidades

Seguimos hablando de programas que aceptan unidades de medición. Esta vez nos toca convertir unidades.

La mayor parte de los convertidores de unidades que existen solo ofrecen una lista de combinaciones predefinidas, pero en ocasiones esto no es suficiente ya que nuestros cálculos pueden circular por derroteros impredecibles. ¿Convertir de «unidad astronómica al día» a «metro al segundo»? No importa cómo has llegado allí o si tiene sentido lo que has construido, ConvertAll te permitirá hacer la conversión que necesitas rápidamente gracias a una simple interfaz gráfica que te deja combinar las unidades que quieras, como quieras y sin limitaciones

El programa, que tiene una larga historia a cuestas (su primera versión pública fue en el 2001) está actualmente escrito en Python3 y utiliza las librerías gráficas PyQt5. También existe una versión JavaScript para utilizar desde el navegador.

Es interesante notar que ambos campos a los lados del signo igual pueden modificarse: si, como en la captura de pantalla escribimos en el de la izquierda el de la derecha mostrará la conversión, pero si escribimos en el de la derecha será el de la izquierda el que muestre un resultado. De esta forma podemos ir y venir entre dos combinaciones compatibles de unidades sin problemas.

ConvertAll está disponible en muchas distribuciones Linux, generalmente a través de algún repositorio extra (en openSUSE se encuentra en el repositorio KDE:Extra), pero en caso no se encuentre la última versión o no se quiera habilitar más repositorios, instalar el programa «a mano» es realmente simple. De hecho, ni siquiera es necesario «instalarlo», podemos tenerlo disponible en un usuario particular sin tener que hacer una instalación como administrador.

Por ejemplo, si queremos instarlo en la carpeta ~/bin/ConvertAll/ simplemente descargamos el archivo convertall-x.y.z.tar.gz, lo descomprimimos, entramos en la carpeta resultante y allí donde vemos el archivo install.py abrimos una terminal virtual y escribimos

python3 install.py -p ~/bin/ConvertAll

Nota: Si no se especifica el parámetro -p ~/bin/ConvertAll el programa se instalará en la dirección predefinida, que es /usr/local. En este caso se necesitará tener privilegios de administrador.

Ahora sí, solo nos quedará crear un acceso a la aplicación

~/bin/ConvertAll/bin/convertall

para utilizarla con comodidad. El icono del programa se encontrará en

~/bin/ConvertAll/share/icons/convertall

por lo que ya saben.


Como anécdota histórica, decir que el icono actual del programa fue introducido el 22 de enero del 2008 (¡hace ya una década!) y fue perpetrado por este pingüino, que en una de sus primeras (y últimas) incursiones en inkscape quiso agradecer de alguna forma a Doug Bell, autor del programa, por tan magnífica herramienta.

Procrastinando como un boss

Actualizado en diciembre 2018


Hace un año publiqué tres artículos (1, 2 y 3) titulados «Podcast, youtube y afines» donde presentaba distintos canales que sigo más o menos fielmente, tanto en castellano (el primer artículo) como en inglés. Considerando que me he alejado de algunas de las «recomendaciones» de aquel momento (ya he actualizado los artículos originales) y que he descubierto otras nuevas (que de eso va este artículo), aquí agrego más información sobre cómo procrastinar como un boss.

En castellano

Mi dieta cojea es el canal de youtube del Dietista-Nutricionista, investigador y divulgador español Aitor Sánchez García. Con mucho humor y mayor rigurosidad nos habla de lo que comemos y lo que deberíamos comer. Un punto de referencia obligado para mantenerse saludable. En el año que llevo viéndolo y leyéndolo no solo aprendí mucho, también bajé más de 10 kilos 😉

deborahciencia La doctora en química, divulgadora multipremiada (premios Prismas, Bitácoras, Tesla… la lista es larga), autora de varios libros y especialista en arte contemporáneo Deborah García Bello ha creado este canal de youtube donde habla de ciencia, arte y, cada tanto, cocina. Que la ciencia está en todo y comprender esto nos ayuda a disfrutar de la vida.

Catástrofe ultravioleta es un magnífico y premiado (Premio Ondas) PodCast mensual de Javier Peláez, Javi Álvarez Antonio Martínez Ron que nos regala un programa realizado con gran cuidado y profesionalidad. Cada episodio toma un tema y lo desarrolla en todas sus variantes, casi como si contaran una historia de aventuras: peligros y promesas de los asteroides (incluyendo las increíbles aventuras de un grupo de astrónomos aficionados), el descubrimiento y la preservación de cápsulas del tiempo, volcanes, genética, enfermedades raras y el porqué todos somos mutantes, incluso la búsqueda de cachalotes. Con entrevistas a especialistas, una banda sonora propia compuesta especialmente para cada episodio y una narrativa bien cuidada que sabe equilibrar sorpresa con humor, resulta un placer para el oído y la mente. NOTA: En el 2018 el trío de Catástrofe Ultravioleta han creado un nuevo proyecto derivado que también es altamente recomendable: Onda Marciana. NUEVA NOTA: por el momento (finales de 2018) no están publicando nuevos programas, pero vale la pena disfrutar de los viejos episodios.

El canal oficial de Les Luthiers ciertamente no necesita presentación. Ya he hablado del grupo por lo que no diré mucho más, que realmente no hace falta. Solo comentar que además de números particulares (el Concierto de Mpkstroff, Oi GadoñayaTeorema de Thales…) y entrevistas en el canal es posible encontrar varios espectáculos completos (Viejos fracasos, el mítico Mastropiero que nunca, Muchas gracias de nada…)  por lo que hay allí horas y horas de humor de alto nivel. ¡Atención, que cuando se empieza no es posible dejar!

En inglés

PSB Infinite Series De la misma gente que presenta el magnífico PBS Space Time tenemos ahora un igualmente magnífico canal dedicado a las matemáticas. Tocando temas de alto vuelo, pero en forma accesible a todos, es un canal de no perderse. ACTUALIZACIÓN (2018): tristemente, el canal ha cerrado. Los vídeos viejos están allí y vale la pena verlos todos, pero ya no se produce más material.

3Blue1Brown Otro canal dedicado a las matemáticas. Presenta temas de lo más variado en forma gráfica y sumamente amena. Para perderle el miedo a cosas como el álgebra, el análisis o incluso las redes neuronales.

Mathologer es el canal de Burkard Polster, profesor de la universidad de Melbourne, Australia. Con mucho humor e innumerables referencias a los Simpsons y Futurama, toca temas sumamente variados de las matemáticas, siempre con un enfoque gráfico que no compromete la rigurosidad. Sin un calendario de publicaciones determinado es mejor suscribirse para no perder ningún episodio.

PBS Eons Es un nuevo canal de PBS Digital Studios que habla de la evolución de la vida en la Tierra, desde sus orígenes hasta la última edad glacial. Los vídeos son breves, pero informativos y bien presentados. Y por supuesto tenemos dinosaurios.

Philosophy Tube Por lejos el mejor canal sobre filosofía que he encontrado. No anda con vueltas: los vídeos son claros y concisos, sin palabras de más o jerga técnica innecesaria. El objetivo del canal no se centra en la filosofía como fin, sino en su uso para interpretar la realidad. Puedo recomendar su serie sobre lo que era el liberalismo (con la inquietante pregunta que deja al final del cuarto episodio) o su episodio The Philosophy of Antifa, pero todos sus vídeos valen la pena. Requiere un nivel medio/alto de inglés para poder seguirlo con comodidad ya que habla relativamente rápido. A partir de mediados del 2018 los episodios se han vuelto más elaborados, con actuación y un gran trabajo de edición que vuelve el resultado aún más interesante.

Overly Sarcastic Productions es un canal sumamente particular y altamente recomendable. Sus presentadores, Red y Blue, hablan de mitología, historia y literatura en un modo absolutamente irreverente y entretenido, pero no por eso menos profundo. La forma en la que Red cuenta las historias de los mitos griegos que hace tantos años leí en el clásico (y denso) libro de Robert Graves me ha hecho reír con ganas muchas veces. Las revisiones de La divina comedia, o de la Ilíada, o de la Eneida… son acertadas e hilarantes. Incluso logra hacer entretenido un tema que de otra forma jamás hubiera considerado como interesante: en la sección «Trope Talk» se dedica a analizar en profundidad los lugares comunes de la literatura y el cine popular. Y también tenemos a Blue hablando de las Cruzadas, o del imperio Persa, o de Alejandro Magno, o de los Tolomeos… Los vídeos con consejos sobre cómo sobrevivir el año académico a mi me llegan con un par de décadas de retraso, pero puedo confirmar que las recomendaciones son sumamente válidas. En fin, un canal muy joven llevado adelante por dos jóvenes talentosos y creativos. Se requiere un oído bien entrenado para seguirlos (especialmente a Red) por lo que no hay que avergonzarse de pausar el vídeo tantas veces como sea necesario para captar todo lo que pasa en pantalla.

Usar unidades en (wx)Maxima

Maxima es un programa de álgebra simbólica que nos permite calcular derivadas, integrales, series, factorizar, resolver ecuaciones, autovalores y autovectores, series de Taylor, transformadas de Laplace… También nos permite realizar cálculos numéricos con precisión arbitraria, realizar gráficos de funciones en dos y tres dimensiones… realmente podrían llenarse muchos artículos solamente haciendo una lista de las oportunidades que nos da este magnífico programa.

wxMaxima es una interfaz gráfica para Maxima realmente bien lograda que simplifica el uso de las opciones más comunes de Maxima y no molesta en la utilización de las otras. Con una simple, pero completa interfaz gráfica de menús, botones y campo de escritura nos permite crear «cuadernos» donde no solo podemos realizar los cálculos sino también agregar anotaciones y comentarios sobre lo que estamos haciendo además de tener los gráficos «en línea», editar entradas anteriores, etcétera.

Hace unos meses hablé de SpeedCrunch y más recientemente del renacido Qalculate!, dos calculadoras de escritorio que permite trabajar con unidades. Ahora bien, es fácil encontrarse con situaciones donde una calculadora no será suficiente por lo que podríamos preguntarnos si es posible trabajar con un sistema más potente desde el punto de vista matemático que también nos permita manejar unidades.

Y justamente es sobre esto que trata el presente artículo.

Preparando el campo

Por defecto Maxima no ofrece opciones de trabajar con unidades, pero nos da un paquete que podemos leer cada vez que lo necesitemos.

Antes de comenzar, para aquellos que no estén familiarizados con wxMaxima es importante saber que para que una instrucción venga ejecutada debemos presionar Mayúsculas-Intro.

Ahora sí, en la linea de comando de wxMaxima ejecutamos

load("unit")

El paquete tardará un momento en cargarse, pero luego de que la palabra Done se presente estaremos listos para trabajar.

Trabajando con unit

El sistema comprende prácticamente cualquier unidad de medida, incluso las imperiales, pero por defecto siempre convierte a las unidades básicas del sistema MKS.

Si queremos que escriba N (Newton) en lugar de \displaystyle kg \frac{m}{s^2} podemos utilizar la instrucción

setunits(N)

tal y como se ve en la siguiente captura de pantalla

Como puede verse wxMaxima nos permite llamar la salida de una expresión como variable de otra.

Y bueno, que el programa da para muchísimo más. Ahora queda bajo la responsabilidad del lector el profundizar sobre el tema.

Con la segunda entrada del menú de Ayuda de wxMaxima (la primer entrada hace cosas raras) tendremos acceso a los manuales y podremos buscar más información sobre unit. Y sobre todo lo demás, claro está.

 

La nueva vida del proyecto Qalculate!

Qalculate! es una calculadora científica para el escritorio con una larga y por momentos problemática historia.

Con una potente librería de base que puede ser utilizada por otros programas (Plasma puede utilizarla para hacer cálculos desde krunner) permite trabajar con unidades, constantes físicas, realizar gráficos, utilizar números complejos, matrices, vectores, ofrecer precisión arbitraria, etcétera.

En el 2006 el desarrollo de la aplicación comienza a frenarse, dando solo dos versiones menores hasta el 2010 donde el proyecto parece quedar huérfano.

Pero todo vuelve a tomar fuerza en el 2016 cuando un nuevo desarrollador se hace cargo del código y el desarrollo comienza a acelerarse. Y mucho: unas 10 versiones en un año.

Una nueva interfaz gráfica en GTK3, infinitas correcciones de error y nuevas características hacen que este ya magnífico programa se vuelva casi imprescindible.

Al momento de escribir este artículo ya se encuentra en la versión 2.1. El desarrollo reciente ha sido tan veloz que salvo por algunas distros rolling particularmente agresivas la mayor parte de las distribuciones Linux ofrecen aún la versión 0.9.12 o incluso anteriores.

Para instalar la última versión en openSUSE tenemos el repositorio de tglatt. Para no crear conflictos con la versión oficial, la de este repositorio ha sido renombrada como qalculate12 mientras que la interfaz gráfica se llama qalculate-gtk.

Como comentamos antes, podemos trabajar con todo tipo de unidades y constantes físicas.

Y además podemos realizar conversiones

(originalmente me dio el resultado en joule sobre metro).

En definitiva, que con este nuevo empujón en su desarrollo Qalculate! se confirma como la mejor calculadora de escritorio en existencia. Un veterano que ha sabido resurgir de sus cenizas y que sigue siendo más fuerte que otros programas que intentan tomar su lugar.

40 años de las misiones Voyager

Lanzadas en 1977 para recorrer el sistema solar exterior, las misiones Voyager han logrado mucho más de lo que sus diseñadores originalmente pensaron como remotamente posible.

A casi 19 horas luz del Sol, la Voyager 1 ha superado el límite de la heliosfera donde el viento solar y el campo magnético de nuestra estrella pierde la partida frente al medio galáctico, convirtiéndose en la primera nave interestelar lanzada por la humanidad.

Los descubrimientos de las Voyager son simplemente impresionantes y han revolucionado completamente nuestra comprensión del sistema solar: los volcanes en Io, la atmósfera de Titán, el espacio interestelar… y el famoso «pale blue dot».

No voy a tan siquiera soñar con escribir un artículo que compita con el siempre impresionante trabajo de Daniel Marín, por lo que los dejo con algo que él preparó para el 35 aniversario:

La historia de las Voyager, los mensajeros interestelares de la humanidad

También interesante: La Voyager 1 ya está oficialmente en el espacio interestelar

Seguramente hoy publicará también algunos de sus imprescindibles artículos para celebrar esta fecha. Si es así, actualizo los enlaces 😉

Más:

[BBC]Voyager 1 at 40: Scientists ‘amazed’ 1970s space probe still works

Una foto de Júpiter tomada por la Voyager 1 y procesada con tecnología actual