Complicando números

El artículo de hoy va de «matemáticas solo por diversión», por lo que ya sabes: sigue bajo tu propia responsabilidad.

Y ya que estamos, cada vez que encuentres en el artículo la palabra «real» o alguna de sus variantes me estoy refiriendo a los números reales ℝ, no a que algo «sea verdadero» o cosas así, que hoy no quiero entrar en temas filosóficos.

Introducción

Hace unos meses, bueno, casi un año, me crucé con el siguiente vídeo que muestra un divertido resultado matemático

Por si no te va el inglés, te muestro solo la sorprendente conclusión final:

(1) \sqrt[3]{8+3\sqrt{21}}+\sqrt[3]{8-3\sqrt{21}}=1

Nota: Si tratas de calcular la expresión utilizando Qalculate!, Octave o incluso Wolfram Alpha, ten cuidado de utilizar la raíz cúbica (cbrt(expresión) o root(expresión;3)) y no un exponente fraccionario, ya que los exponentes fraccionarios dan el «valor principal de la raíz»(1) en lugar de la solución real, y eso se nota cuando tomas raíces de números negativos. Es decir, root(-8;3) = cbrt(-8) = -2, pero si escribes (-8)^(1/3) obtendrás algo diferente: la evaluación de 2 eiπ/3


(1) La raíz n-ésima da exactamente n cantidades complejas, todas ellas sobre un círculo: la primera desde el eje x en sentido antihorario es el «valor principal»

Pues sí, todas esas raíces anidadas y sumadas dan un número entero, incluso si algunas de sus partes son claramente irracionales como lo es \sqrt{21}, ¿cómo es esto posible?

Bueno, tranquilos, que en realidad no es tan raro: la segunda raíz es un número negativo y por la propia simetría de la expresión tenemos que las partes decimales de ambas raíces coinciden, con lo cual terminan cancelándose.

Ahora bien, si te gusta jugar con problemas matemáticos independientemente de si son útiles o no (y espero que así sea, que de lo contrario este artículo te resultará pesado), podrías preguntarte, como yo lo he hecho, ¿existe un modo de complicar cualquier número, no solo el 1?

El método

Siempre podemos generalizar la idea utilizada en el vídeo para calcular el número original. Por ejemplo, podríamos reemplazar 3\sqrt{21} con un número genérico a y llamar a la expresión x:

(2) x=\sqrt[3]{8+a}+\sqrt[3]{8-a}

Ahora solo tenemos que elevar todo al cubo y desarrollar la expresión

(3) x^{3}=8+\not a+3\sqrt[3]{\left(8+a\right)^{2}\left(8-a\right)}+3\sqrt[3]{\left(8+a\right)\left(8-a\right)^{2}}+8-\not a

que, usando «diferencia de cuadrados» y reagrupando (te dejo los detalles) nos lleva a

(4) x^{3}-3\sqrt[3]{64-a^{2}}x-16=0

Ahora solo sería cuestión de elegir el número que queremos «complicar», sustituirlo en lugar de la x y resolver para el valor de a… siempre y cuando sea válido el hacerlo.

Discusión

Ciertamente si sustituyes x=1 obtendrás a=3\sqrt{21}, que después de todo de allí partimos, pero a este punto tendrías que notar un pequeño peligro en todo esto: las ecuaciones cúbicas pueden tener hasta tres soluciones. Es decir, tenemos que asegurarnos de que la solución sea única. Pero hay otro problema que afrontaremos primero: para verlo, tenemos que resolver para a en general. Nuevamente, te dejo los detalles

(5) \displaystyle a^{2}=64-\left(\frac{x^{3}-16}{3x}\right)^{3}

Claramente, x no puede ser cero, con 1 ya sabemos que funciona, con x=2 obtenemos

(6) \sqrt[3]{8+\frac{16}{3}\sqrt{\frac{7}{3}}}+\sqrt[3]{8-\frac{16}{3}\sqrt{\frac{7}{3}}}=2

con x=3

(7) \sqrt[3]{8+\frac{35}{27}\sqrt{37}}+\sqrt[3]{8-\frac{35}{27}\sqrt{37}}=3

¡pero cuando llegamos a x=4, a^{2}=0! Esto es un gran problema ya que en este caso la ecuación cúbica con la que cerramos la sección anterior será

(8) x^{3}-12x-16=0

ecuación que tiene dos soluciones reales: x_{1}=4, como ya sabíamos, y x_{2}=-2.

Bueno, podríamos simplemente rechazar esta segunda solución como un resultado espurio producto del método de resolución, pero eso no nos ayudaría mucho ya que llegaríamos simplemente a 4=4, lo que no es muy divertido.

Además… ¡a partir de x=5 llegamos a un a^{2}<0! Dado que estábamos tratando de complicar los números naturales podríamos decir que esto último no es un problema: agregar números imaginarios hace que todo sea más guay. Mira si no esto

(9) \sqrt[3]{8+\mathbf{i}\sqrt{\frac{1079029}{3375}}}+\sqrt[3]{8-\mathbf{i}\sqrt{\frac{1079029}{3375}}}=5

¡Escalofriante! Pero bueno, podrías querer limitarte a los números reales y todavía tenemos que complicar el 4. Te propongo entonces repetir los cálculos con

(10) x=\sqrt[3]{b^{3}+a}+\sqrt[3]{b^{3}-a}

donde b>0, que seguramente llegarás a

(11) x^{3}-3\sqrt[3]{b^{6}-a^{2}}x-2b^{3}=0

y por lo tanto a

(12) \displaystyle a^{2}=b^{6}-\left(\frac{x^{3}-2b^{3}}{3x}\right)^{3}

Con b^{3}=8 ya sabes que puedes llegar hasta x=3, por lo que solo te queda elegir un b lo suficientemente grande como para ir más lejos.

Sí, ya, te preguntarás el motivo de elegir b^{3} en lugar de un tranquilo b. Simplemente hace más clara la respuesta a la otra pregunta que dejamos colgada más arriba: la unicidad de la solución. Cuando tenemos a=0 la ecuación cúbica de más arriba presentaría dos soluciones reales, el valor de x elegido y x=-b, mientras que si es a\neq0 solo tenemos una (las otras dos son imaginarias). Esas cosas que se pueden ver haciendo que la derivada primera sea cero, sustituyendo y magias por el estilo… ya sabes, cálculo diferencial.

En fin, que eligiendo b=3 podemos finalmente escribir

(13) \sqrt[3]{27+\frac{91}{6}\sqrt{\frac{19}{6}}}+\sqrt[3]{27-\frac{91}{6}\sqrt{\frac{19}{6}}}=4

Ahora ya sabes lo que necesitas para «complicar» cualquier número natural. Eso sí, si quieres hacer esto para un número más grande necesitarás una hoja de papel bastante ancha. Por ejemplo, con b=22 puedes escribir

(14) \sqrt[3]{10648+\frac{84736}{189}\sqrt{\frac{1387}{7}}}+\sqrt[3]{10648-\frac{84736}{189}\sqrt{\frac{1387}{7}}}=42

O, también apropiadamente, con b=14

(15) \sqrt[3]{2744+\frac{20320}{39}\sqrt{\frac{547}{39}}}+\sqrt[3]{2744-\frac{20320}{39}\sqrt{\frac{547}{39}}}=26

Y claro, también puedes complicar los mismos números de muchas formas distintas, cambiando el valor de b. Por ejemplo

(16) \sqrt[3]{1+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{7}{3}}}+\sqrt[3]{1-\frac{2}{3}\sqrt{\frac{7}{3}}}=1

Los números tienen estas (y otras) cosas.


Quiero agradecer a la gente detrás del programa Maxima y de su interfaz gráfica wxMaxima como así también a los desarrolladores de Qalculate! (el signo de admiración es parte del nombre): sin la ayuda de estas herramientas los cálculos para este artículo habrían sido igualmente posibles, sí, pero yo no los hubiera hecho.

El monstruo infinito, 2: ¿qué tan grande es el infinito?

Además de celebrar el octavo año de esta pingüinera (¡fue ayer!), hoy cerramos el tema que comenzamos la semana pasada. Asegúrate de leer el artículo anterior antes de comenzar con este, que lo que allí se discute es importante para comprender lo que sigue.

Allá vamos.

Medir el infinito

Si definimos un conjunto que sea «sillas en una habitación» podremos fácilmente definir su cardinal, es decir, el número de elementos que el conjunto contiene. Si el cardinal de un conjunto es 2 y el de otro resulta 4, rápidamente podremos decir cuál conjunto «es más grande».

Ahora bien, ¿cómo hacemos esto con conjuntos que tienen infinitos elementos como los números?

Has un esfuerzo de memoria, que seguro lo has visto: «hay tantos números pares como números naturales». De hecho podremos decir que hay tantos números primos como números naturales. Simplemente pones los números en dos columnas y asocias los de una columna con los de otra: si puedes hacer una relación uno a uno entre ambos conjuntos sin olvidarte ningún elemento, decimos que ambos conjuntos tienen «el mismo cardinal»

1 → 2

2 → 3

3 → 5

4 → 7

5 → 11

6 → 13

y así siguiendo infinitamente. Por lo que sí, el cardinal de los números enteros es igual al cardinal de un subconjunto de los mimos como los números primos. Las cosas que pasan cuando tienes conjuntos infinitos. En esta forma de comparar conjuntos infinitos trabajó un señor llamado Georg Cantor, por si te da curiosidad y quieres sumergirte en la wikipedia (buscar enlaces de todo esto te queda como ejercicio: no te quejes, que no te estoy dando para hacer cálculos).

El truco puede extenderse para demostrar (te lo dejo como otro ejercicio, por protestar) que el conjunto de los racionales ℚ también tiene el mismo cardinal que ℕ. Es decir, aunque no lo parezca hay tantas fracciones posibles como números enteros, no más, no menos: ambos conjuntos son «igual de infinitos». ¿Que te resulta extraño? Pues sigue leyendo, que la cosa solo empieza.

El cardinal de los números naturales suele llamarse «aleph cero»: ℵ0. Y sí, como ya te imaginarás existe un «aleph uno», ℵ1, que es más «grande» y corresponde (estoy simplificando mucho el discurso aquí) a la cardinalidad de los números reales ℝ, esos que dijimos están formados por los algebraicos y los trascendentes.

Y es que puede demostrarse que es absolutamente imposible realizar una asociación «uno a uno» entre los naturales y los reales, los reales «siempre sobran» por lo que el conjunto ℝ «es más grande» que el conjunto ℕ. ¿Cómo? Pues con el «argumento de la diagonal de Cantor».

Primero tienes que demostrar, sí, tú, que no voy a hacer todo el trabajo por ti, que la cardinalidad del segmento que va del 0 al 1 es igual a la de todos los reales (pista: piensa en una función como la tangente). Hecho esto, comienzas una «demostración por reducción al absurdo».

El procedimiento es el siguiente: supones que los números reales entre 0 y 1 pueden ser numerados, es decir, que puedes escribir una lista completa de ellos. Pues bien, ahora construyes un nuevo número tomando, para el primer dígito decimal, un número diferente del primer dígito decimal del primer número en la lista, para el segundo dígito decimal del nuevo número, tomas un número diferente del segundo dígito decimal del segundo número de la lista… y así infinitamente. ¡De esta forma habrás construido un nuevo numero que es diferente a todos los números de la lista! ¡La lista no era completa!

Pues bien, demostrado esto tenemos ante nosotros el ℵ0 y el ℵ1, que son diferentes. Aquí tampoco tienes que preocuparte ya que no entraré en el tema de la jerarquía de infinitos o la hipótesis del continuo, temas que nos dejarían a un paso de los problemas de indecibilidad, el axioma de selección y… en fin, mejor no.

Ahora bien, te hago una pregunta tramposa: ¿te imaginas cuál es la cardinalidad de los números algebraicos?

Pues resulta ser ℵ0.

Exacto: \sqrt{2},~\sqrt[3]{5} y todos los números de esa especie que en la escuela eran el ejemplo por excelencia de los números reales resultan ser parte de un conjunto que tiene la misma cardinalidad de los modestos naturales.

La demostración es bien simple: construyes una tabla donde en la primera columna vas pasando por todos los polinomios a coeficientes enteros, en la segunda pones los ceros de esos polinomios y en la tercera los números naturales: relación uno a uno, igual cardinalidad.

Bueno, pensarás, es cuestión de agregar π y todos sus amigos, que así ya tenemos nuestro cardinal ℵ1, ¿verdad?

¡No tan rápido! No tan rápido.

Los números calculables… y los otros

Lo que sigue es algo que se le ocurrió a un tal señor Alan Turing, por si quieres profundizar.

Números como π, e, \ln(2) y parientes son números que, si bien trascendentes, sabemos cómo calcular. De hecho, hace unos años publiqué un artículo sobre cómo calcular π «al estilo de Arquímedes», ¿recuerdas? ¿No? En fin. Ahora bien, piensa un momento, ¿qué significa calcular un número?

Ya sea que lo hagamos a mano o le dejemos la ingrata tarea a una computadora, calcular un número particular implica desarrollar un algoritmo, una lista de instrucciones… y aquí ya tendrías que comenzar a sospechar algo.

Definamos el conjunto de todos los algoritmos posibles. Dado que cada algoritmo no es más que una lista de instrucciones, podremos simplemente hacer una lista numerada de algoritmos: tienes el primer, el segundo… el millonésimo algoritmo, uno de ellos te calcula π, pero no puedes tener el algoritmo número π.

Es decir, dado que puedes hacer una lista con los algoritmos, puedes asociar cada uno de ellos a un único número natural, y eso quiere decir que el cardinal de los números que podemos calcular también es0. El cardinal del conjunto de los números calculables es igual al cardinal de los números naturales.

Exacto: todo esto significa que la enorme, abrumadora, monstruosa mayoría de los números reales no pueden, ni podrán jamás, ser calculados. Están allí, sabemos de su existencia, pero no podemos verlos, acceder a ellos o saber cómo son.

El conjunto de los números reales es un monstruo infinito… y fascinante.


Complemento

Luego de escribir estas dos entradas (el primer borrador creo que lo hice en marzo) descubrí un muy buen canal de youtube llamado Lemniscata, y en él el siguiente vídeo que trata en forma muy entretenida una parte de lo que hemos discutido aquí:

El monstruo infinito, 1: «¡está lleno de números!»

La semana que viene el blog cumplirá 8 años, por lo que me puse a pensar en algo divertido para decir sobre el número 8. Como te imaginarás, no encontré nada (2 al cubo, qué se puede decir, bien aburrido) por lo que mi mente comenzó a dispersarse y a dar tantas vueltas que caí en una cadena de asociaciones que me llevó a escribir sobre todos los números. Sí, todos, que así soy yo. Por lo que ya sabes: ajustate el cinturón de seguridad que en este artículo y en el próximo vamos a hablar de números, conjuntos e infinitos.

Y de un monstruo, sí, también de eso.

Más precisamente quiero mostrarte el motivo por el cual los números reales forman un conjunto monstruoso… y fascinante. Para esto tendremos que tocar unos cuantos temas, pero no te preocupes que no tendrás que hacer cuentas y el viaje es, creo yo, muy interesante.

Los números de toda la vida, y algunos otros

Todo comienza con los números naturales, los «números de contar» de toda la vida: 1, 2, 3… No voy a entrar en la discusión de si el cero es natural o no (aunque lo usaremos como si lo fuera) y menos aún de si es par o no, o que si la definición axiomática de Peano o de quien quieras. Nada de eso. Lo importante es que tenemos los números naturales, el conjunto ℕ, y una operación definida entre ellos, la adición. Generalizando la adición podemos definir el producto y de invertir suma y producto podemos definir diferencia y división.

De tratar de dar sentido a las operaciones de diferencia y división es que generalizamos los números para obtener los enteros ℤ (agregar los negativos a ℕ) y los racionales ℚ (agregar las fracciones).

Hasta aquí todo bien y consistente. Pero solo hasta aquí, que cuando generalizamos el producto para crear las potencias y luego invertimos las potencias para crear las raíces (cuadradas, cúbicas, las que hagan falta) todo comienza a complicarse, incluso si solo nos dedicamos a considerar las raíces de los números positivos.

Y es justo en estas «complejidades» donde la didáctica numérica suele perder un poco el rumbo: en las escuelas nos dicen cosas como que de las raíces de ciertos números, por ejemplo los números primos, nos dan los irracionales (aquellos números que no pueden ser escritos como fracciones) y que el conjunto formado por los racionales y los irracionales nos da el conjunto de los números reales ℝ.

A ver, un momento, que el conjunto de los números irracionales es mucho, pero MUCHO más grande que el conjunto de «las raíces de ciertos números». Podríamos incluso decir que es monstruosamente más grande… ya llegaremos a eso.

Números algebraicos y números trascendentes

¿Recuerdas qué son los polinomios? ¿No? En fin. Empecemos entonces con los monomios, que son un tipo de función elemental de la forma a_n x^n, con a_n un número cualquiera, al que llamaremos coeficiente, y n un número perteneciente a ℕ (con el cero), al que llamaremos grado. Si ahora sumas varios monomios, cada uno con un grado distinto, pues tenemos un polinomio.

No voy a entrar en los detalles, no te preocupes, es suficiente que tengas en mente esta idea básica de polinomio y el concepto de «cero de una función». No, no estamos hablando de «cero como en el número cero»: un cero de un polinomio es el valor que tienes que darle a la x para que toda la función dé como resultado el número cero. También se lo llama raíz. Que no, que no es «raíz como en raíz cuadrada»… en fin, las limitaciones del lenguaje.

Ya casi estamos. Si de todos los polinomios posibles nos restringimos ahora a aquellos que tienen coeficientes que pertenecen a los números enteros ℤ podemos comenzar a razonar. Pues bien, el conjunto de todos los ceros de todos los polinomios a coeficientes enteros forman el conjunto de los números algebraicos.

Nota: por simplicidad del discurso hoy vamos a ignorar a los números complejos, por lo que solo tomaremos en consideración los ceros de estos polinomios que pertenecen a ℝ.

Es justo en este punto donde la didáctica matemática suele explicar las cosas un poco mal, porque si bien los números algebraicos incluyen aquellas «raíces de ciertos números» de los que hablamos antes, como \sqrt{2},~\sqrt[3]{5}, etcétera, dejan afuera los números como π.

\ln(2), π, e y otras bellezas por el estilo son números que no pueden expresarse como números algebraicos y por lo tanto vienen llamados números trascendentes. Es la unión de los números algebraicos (no complejos) y de los trascendentes la que nos da finalmente los números reales.

¿Que porqué es esto importante? Bueno, para verlo primero tenemos que hablar de otro concepto fundamental, pero el artículo de hoy está quedando ya demasiado largo.

Seguimos en el próximo.

El androide científico

No, no voy a hablar ni de Data ni de su recientemente anunciado retorno, que nunca me vas a ver en una convención de Trekkies.

Hace poco caí finalmente ante la presión social y me vi obligado a adquirir un teléfono con internet. En fin, qué vamos a hacerle. «Ya que no me queda otra que estar aquí, mejor me aprovecho», pensé, por lo que he estado buscando algunas aplicaciones de código abierto que hagan que el androide ese sirva para algo. El amigo Mauricio ya me sugirió una, hoy voy a compartir otras dos de corte «científico» que me han sorprendido y mucho, especialmente la primera.

Calculator N+

Esta aplicación se presenta como «una poderosa calculadora», pero esta descripción resulta demasiado humilde: es en realidad un completo sistema de álgebra simbólica computacional que permite trabajar con precisión arbitraria, cambiar entre representación decimal y exacta (raíces y fracciones), resolver ecuaciones, factorizar números y polinomios, resolver expresiones trigonométricas. Con ella puedes derivar, integrar, calcular límites, realizar gráficos, cálculo combinatorio, trabajar en teoría de números (álgebra modular y números de Catalán, por ejemplo) y mucho, pero mucho más

 

 

 

 

 

Con licencia GPL 3, puede utilizarse sin conexión, es increíblemente rápida, presenta los resultados en LATEX y, qué más puedo decir, ¡es sorprendente lo que se puede hacer en estos días con un teléfono!

Por el momento, la aplicación solo se encuentra en inglés.

Sistema periódico

Una completísima y perfectamente actualizada tabla periódica de los elementos, con muchísima información sobre todos los átomos: masa atómica, electronegatividad, configuración electrónica, puntos de fusión y ebullición, densidad… lo que necesites.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

La aplicación se encuentra traducida al castellano, no requiere permisos, puede utilizarse sin conexión a internet… qué más se puede pedir.

¿Conoces alguna otra aplicación libre que haga que los teléfonos se vuelvan algo útil? ¡Aquí abajo tienes los comentarios para compartirla!


Nota: en forma excepcional, en la semana que viene también habrá artículo, ¡y en la otra! Pero no hay que acostumbrarse, que esto ha sido un poco por casualidad.

Dos magníficos podcast para practicar tu inglés

Ambos son de entrevistas, por lo que te ayudarán a afilar el oído con distintos acentos y estilos. Aquí van.



Brady Haran (hablé ya de él en este artículo), conocido presentador de varios canales de youtube cientófilos como Periodic Videos (química), Sixty Symbols (física), DeepSkyVideos (astronomía), Objectivity (curiosidades de la Royal Society) y, bien, Numberphile (matemática) lleva adelante también varios podcast, a los cuales ha agregado Numberphile podcast. Con interesantes y amenas entrevistas a conocidos matemáticos y divulgadores, este podcast resulta muy recomendable.


Sean Carroll (sitio web) es un conocido físico teórico que no teme a la divulgación, pero a diferencia de otros científicos y divulgadores también famosos él sabe distinguir entre una conjetura discutida y un hecho aceptado, lo cual es de agradecerse. Tampoco teme a hablar de filosofía y materias humanísticas, de hecho, contrariamente a muchos otros científicos y divulgadores también famosos él lo hace con propiedad. En su podcast, llamado Mindscape, entrevista a personalidades de diferentes campos de la actividad humana  y el resultado es siempre brillante: científicos e investigadores, sí, pero también filósofos, músicos, un director de cine, un «teólogo ateo» e incluso a una jugadora profesional de poker. Una serie de conversaciones entre un presentador sumamente inteligente y entrevistados sumamente inteligentes es algo que no puede fallar. Cada tanto nos ofrece un programa sin invitados donde se lanza a hablar en solitario de lo que le viene en gana, lo cual también está muy bien.

En las páginas correspondientes a cada episodio es posible encontrar la transcripción de los mismos, lo cual puede resultar muy útil si aún no tienes tu oído bien entrenado.



Pues aquí los tienes: dos magníficos podcast que te mantendrán informado mientras te ayudan a afilar tu inglés. ¡No te los pierdas!

La historia más allá de los nombres

La ley de eponimia de Stigler, postulada en 1980, establece que ningún descubrimiento científico recibe el nombre de quien lo ha descubierto. Para demostrarlo, Stigler indica que quien primero formuló la ley que hoy lleva su nombre fue en realidad el sociólogo Robert K. Merton, aunque ideas semejantes fueron planteadas mucho antes por mucha gente.

Lo cual solo refuerza el valor de esta «ley».

Pero no nos detengamos es su apariencia de anécdota simpática: la ley de Stigler debería ayudarnos a reflexionar sobre la historia misma del desarrollo del pensamiento.

Cuando Thomas Kuhn desafió la idea de que el conocimiento evoluciona en forma «suave y acumulativa» cometió el error de ir al extremo ideológico opuesto: propuso que el conocimiento tiene claros «saltos» en su desarrollo, que él llamó revoluciones. Su idea era que luego de un período de business as usual, siempre comienzan a aparecer evidencias de que algo no va bien, generando una tensión que se transforma en crisis para finalmente resolverse con un «cambios de paradigma». Después de todo, esa idea parece llevarse bien con la narrativa que nos ofrecen los libros de historia: Primero Copérnico, luego Galileo, luego Newton, luego Einstein… y ahora solo nos queda esperar quién sigue en la lista de «heroicos revolucionarios».

El problema con todo esto es que la realidad, especialmente la realidad humana en su contexto histórico, es siempre más complicada de lo que nos gustaría admitir. Veamos un ejemplo.

En la narrativa tradicional suele ponerse la «revolución copernicana» como un punto de inflexión que cambió radicalmente la historia del pensamiento científico, pero ¿fue esto realmente así? Pues… no exactamente. No solo hablar de Ciencia, así con mayúsculas, antes del siglo XVIII es un tanto «incorrecto» (para ser suaves): Nicole Oresme discutió el heliocentrismo y una forma del principio de inercia más de un siglo antes de Copérnico y dos siglos antes de Galileo.

Y eso incluso si decidimos no hablar de Aristarco de Samos, que no solo propuso el modelo heliocéntrico en el tercer siglo antes de Cristo: ¡también colocó los planetas conocidos en el orden correcto!

Primer no: el libro de Copérnico no fue «revolucionario» en el sentido de contener ideas que nadie había pensado antes ya que mucha gente las había pensado antes. Pero un momento, me dirás, seguramente aportaba pruebas astronómicas de su modelo, ¿verdad? Pues aquí viene el segundo no: el libro es un centenar de páginas con las ideas de base seguidas de tablas y tablas de observaciones astronómicas… que él no realizó. Las primeras pruebas astronómicas en contra del geocentrismo las encontró Galileo al ver que había objetos (las lunas de Júpiter) que claramente giraban alrededor de un cuerpo distinto de la Tierra. Pero entonces tenía seguramente cálculos más completos y precisos que los existentes en la época, ¿verdad? Pues tampoco: no solo comete algunos errores matemáticos, Copérnico sigue utilizando esferas de cristal y epiciclos tal y como lo hacía Ptolomeo. Él solo cambió el centro de las órbitas de los planetas, sacándolo de la Tierra para llevarlo a un punto cercano al Sol (no el centro del Sol), idea que ya vimos no era nueva. De hecho, el propio Copérnico admite en el texto que el mejor argumento que tenía para sostener sus ideas era que resultaban «intelectualmente satisfactorias».

Círculos (incluyendo alguno excéntrico) y epiciclos en De revolutionibus orbium coelestium (la edición que tengo es parte de On The Shoulders of Giants, editado por Stephen Hawking). Y sí, otra vez una foto con la cámara del móvil.

Entonces, ¿en qué consistió realmente la «revolución copernicana», te preguntarás? Pues podría decirse que a partir de ella mucha más gente que antes comenzó a considerar el modelo heliocéntrico como algo que merecía una discusión. Antes la idea había pasado sin pena ni gloria y a partir del Revolutionibus mucha gente la tenía presente, para bien (Kepler, Galileo) y para mal (la iglesia). Es decir, la revolución copernicana consistió en presentar una idea conocida (heliocentrismo), con un modelo matemático conocido (esferas y epiciclos) en un modo que generó discusión. Lo cual no está nada mal, pero ¿es correcto tomar este punto como el centro de la «revolución» científica?

De hecho, podríamos argumentar que el cambio de paradigma en astronomía se dio en realidad más de cinco décadas más tarde con Johannes Kepler, quien tomó los magníficos datos experimentales de Tycho Brahe y buscó la mejor forma matemática que los explicara, llegando a sus tres leyes del movimiento planetario. ¿No debería ser Kepler el héroe de esta historia?

Uno de los peores pecados de la divulgación científica en particular y de la educación en general es la maldita costumbre de simplificar las cosas más de lo necesario, creando narrativas llenas de héroes y villanos más cercanos al estilo Hollywood que a la realidad. Las historias nunca son simples, los cambios nunca resultan bien definidos, las revoluciones nunca son creadas por un solo individuo en un único momento de gloria.

Asignar un único nombre al rol de «héroe», sea este Copérnico, Kepler, quien sea, es simplificar demasiado las cosas.

Quizás el mejor ejemplo de que las cosas humanas son siempre más complicadas de lo que un simple modelo pueda presentarnos es el gran revolucionario Sir Isaac Newton. Parafraseando a Neil DeGrass Tyson (quien más de una vez ha caído en el pecado mencionado más arriba) podemos decir que «Newton descubrió las leyes de la óptica, las leyes del movimiento de los cuerpos y la ley de gravitación universal, inventó el cálculo diferencial e integral y luego de eso cumplió 26 años». Newton fue ciertamente una figura clave en una revolución científica que cambió nuestro modo de ver el mundo, pero como persona inteligente que era fue capaz de encontrar no solo una explicación para los fenómenos naturales, sino también para su propia obra, diciendo en una carta escrita en 1675 a Robert Hook:

If I have seen further it is by standing on the shoulders of Giants.

(Si he visto más allá es por estar de pie sobre los hombros de Gigantes —referencia).

Newton fue un genio, posiblemente el más brillante físico teórico de todos los tiempos, pero todo lo que hizo tiene su sólida raíz en muchas cosas hechas por muchas otras personas antes de él: sin Galileo y sin Kepler, Newton no hubiera llegado tan lejos. La revolución científica necesita de la acumulación metódica de conocimientos y esta necesita de aquella: ambas están tan intricadamente relacionadas que hablar de una sin mencionar la otra es como tratar de hablar de las olas del mar sin mencionar al viento y a las mareas.

Usar unidades en (wx)Maxima

Maxima es un programa de álgebra simbólica que nos permite calcular derivadas, integrales, series, factorizar, resolver ecuaciones, autovalores y autovectores, series de Taylor, transformadas de Laplace… También nos permite realizar cálculos numéricos con precisión arbitraria, realizar gráficos de funciones en dos y tres dimensiones… realmente podrían llenarse muchos artículos solamente haciendo una lista de las oportunidades que nos da este magnífico programa.

wxMaxima es una interfaz gráfica para Maxima realmente bien lograda que simplifica el uso de las opciones más comunes de Maxima y no molesta en la utilización de las otras. Con una simple, pero completa interfaz gráfica de menús, botones y campo de escritura nos permite crear «cuadernos» donde no solo podemos realizar los cálculos sino también agregar anotaciones y comentarios sobre lo que estamos haciendo además de tener los gráficos «en línea», editar entradas anteriores, etcétera.

Hace unos meses hablé de SpeedCrunch y más recientemente del renacido Qalculate!, dos calculadoras de escritorio que permite trabajar con unidades. Ahora bien, es fácil encontrarse con situaciones donde una calculadora no será suficiente por lo que podríamos preguntarnos si es posible trabajar con un sistema más potente desde el punto de vista matemático que también nos permita manejar unidades.

Y justamente es sobre esto que trata el presente artículo.

Preparando el campo

Por defecto Maxima no ofrece opciones de trabajar con unidades, pero nos da un paquete que podemos leer cada vez que lo necesitemos.

Antes de comenzar, para aquellos que no estén familiarizados con wxMaxima es importante saber que para que una instrucción venga ejecutada debemos presionar Mayúsculas-Intro.

Ahora sí, en la linea de comando de wxMaxima ejecutamos

load("unit")

El paquete tardará un momento en cargarse, pero luego de que la palabra Done se presente estaremos listos para trabajar.

Trabajando con unit

El sistema comprende prácticamente cualquier unidad de medida, incluso las imperiales, pero por defecto siempre convierte a las unidades básicas del sistema MKS.

Si queremos que escriba N (Newton) en lugar de \displaystyle kg \frac{m}{s^2} podemos utilizar la instrucción

setunits(N)

tal y como se ve en la siguiente captura de pantalla

Como puede verse wxMaxima nos permite llamar la salida de una expresión como variable de otra.

Y bueno, que el programa da para muchísimo más. Ahora queda bajo la responsabilidad del lector el profundizar sobre el tema.

Con la segunda entrada del menú de Ayuda de wxMaxima (la primer entrada hace cosas raras) tendremos acceso a los manuales y podremos buscar más información sobre unit. Y sobre todo lo demás, claro está.